1. Cho phương trình: \(mx^2-2m+1=0\)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm, tính các nghiệm của phương trình theo m
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm khác
2. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 + (m - 4)x + m2 - 3m + 3 = 0. CMR: \(-7\le\dfrac{mx^2}{1-x_1}+\dfrac{mx^2}{1-x_2}\le\dfrac{49}{9}\)
bài 1: sửa đề nhát nha : cho phương trình \(mx^2-2mx+1=0\)
a) để phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-m\ge0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) phương trình có 3 nghiệm :
\(x_1=\dfrac{m+\sqrt{m^2-m}}{m};x_2=\dfrac{m-\sqrt{m^2-m}}{m}\) và \(x_1=x_2=x\) khi \(\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=1\end{matrix}\right.\)
b) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< 0\end{matrix}\right.\)
giử sử 2 nghiệm của phương trình đó là : \(n\) và \(2n\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}mn^2-2mn+1=0\\4mn^2-4mn+1=0\end{matrix}\right.\)
giải phương trình bằng cách đặc ẩn phụ ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{3}{2}\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
vậy \(m=\dfrac{1}{2}\)
bài 2) để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2-4\left(m^2-3m+3\right)\ge0\Leftrightarrow-3m^2+4m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(-3m-2\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{-2}{3}\le x\le2\)
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=m^2-3m+3\\x_1+x_2=4-m\end{matrix}\right.\)
ta có : \(\dfrac{mx_1^2}{1-x_1}+\dfrac{mx_2^2}{1-x_2}=\dfrac{mx_1^2\left(1-x_2\right)+mx_2^2\left(1-x_1\right)}{\left(1-x_1\right)\left(1-x_2\right)}\)
\(=\dfrac{mx^2_1+mx_2^2-mx_1^2x_2-mx_2^2x_1}{1-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}=\dfrac{m\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)-mx_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{1-\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2}\)
\(=\dfrac{m\left(\left(4-m\right)^2-2\left(m^2-3m+3\right)\right)-m\left(m^2-3m+3\right)\left(4-m\right)}{1+m-4+m^2-3m+3}\)
\(=\dfrac{\left(m^2-2m\right)\left(m^2-6m+1\right)}{m^2-2m}=m^2-6m+1=\left(m-3\right)^2-8\)
kết hợp với điều kiện \(\dfrac{-2}{3}\le x\le2\) \(\Rightarrow\) (đpcm)
đâu "=" bên trái xảy ra khi \(x=2\) ; dấu "=" bên phải xảy ra khi \(x=\dfrac{-2}{3}\)
