1 . Cho \(a,b,c\ne0\in Q\) và \(a=b+c\)
CMR : \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\in Q\)
2 . Cho ba số dương x,y,z thõa mãn điều kiện xy+yz+zx=1 tính:
\(A=x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(1+x\right)^2\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}\)
3 .
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA tới đường tròn (O; R), ( A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và hai điểm I, H lần lượt là hình chiếu của E và A trên đường thẳng OM. Qua M vẽ cát tuyến MBC tới đường tròn (O) sao cho MB < MC và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO.
a) Chứng minh các hệ thức: MA2 = MB.MC; MA2 = MH.MO.
b) Chứng minh ∆MBH đồng dạng ∆MOC. Từ đó chứng minh tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn.
c) Chứng minh . Vẽ tiếp tuyến IK tới đường tròn (O) với K là tiếp điểm. và ∆MKH vuông tại K.
d) Giả sử BC = 3BM và D là trung điểm đoạn MC. Chứng minh: MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆ODH
Bài 1 :
Ta có :
\(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}-\frac{2}{bc}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\left(1\right)\)
Mặt khác \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2.\frac{c+b-a}{abc}\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\) ( vì \(a=b+c\) ) (2)
Từ (1) và (2) . Suy ra
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\)
Do a , b , c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right|\) là một số hữu tỉ
Từ đây ta có đpcm
Bài 3 :
a ) Xét đường tròn \(\left(O\right)\) có tiếp tuyến MA , cát tuyến MBC
\(\Rightarrow MA^2=MB.MC\) ( hệ thức lượng đường tròn ) (đpcm )
Xét \(\Delta MOA\) vuông tại A , đường cao AH
\(\Rightarrow MA^2=MH.MO\) ( hệ thức lượng tam giác vuông ) (đpcm)
b ) Theo câu a ) ta có : \(MB.MC=MH.MO\left(=AM^2\right)\)
\(\Rightarrow\Delta MBH\sim\Delta MOC\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{MHB}=\widehat{MCO}\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn ( đpcm )
c ) Áp dụng định lí Pytagore , ta có các đẳng thức về cạnh : \(IK^2=OI^2-OK^2=OI^2-OA^2=\left(OM-IM\right)^2-OA^2=OM^2-2.OM.IM+IM^2-OA^2=AM^2-MH.MO+IM^2\)
\(=AM^2-AM^2+IM^2=IM^2\Rightarrow IK=IM\) . Do đó : \(IK=IM=IH=\frac{MH}{2}\)
Xét \(\Delta MKH\) có : Trung tuyến \(KI=\frac{MH}{2}\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta KMH\) vuông tại K ( đpcm )
d ) Từ câu a : \(MA^2=MB.MC=\frac{MC}{4}.MC=\frac{MC^2}{4}\Rightarrow MA=\frac{MC}{2}=MD\)
Từ đó : \(MA^2=MD^2=MH.MO\Rightarrow\Delta MDH\sim\Delta MOD\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{MDH}=\widehat{MOD}\)= 1/2.Sđ ( HD ( ODH)
Suy ra MC tiếp xúc với đường tròn ( ODH ) (đpcm)