Thay tọa độ A và B vào pt \(\left(\alpha\right)\) ra 2 kết quả cùng dấu, do đó A và B nằm cùng phía so với \(\left(\alpha\right)\)
Gọi (d) là đường qua A và vuông góc \(\left(\alpha\right)\), phương trình (d) có dạng:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+t\\z=1-t\end{matrix}\right.\)
Gọi C là giao điểm (d) và \(\left(\alpha\right)\Rightarrow\) tọa độ C tỏa mãn:
\(2\left(1+2t\right)+1+t-\left(1-t\right)+3=0\Rightarrow t=-\dfrac{5}{6}\) \(\Rightarrow C\left(-\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{6};\dfrac{11}{6}\right)\)
Gọi D là điểm đối xứng A qua \(\left(\alpha\right)\Rightarrow\) C là trung điểm AD \(\Rightarrow D\left(-\dfrac{7}{3};-\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}\right)\)
Do D đối xứng A qua \(\left(\alpha\right)\Rightarrow MA=MD\Rightarrow MA+MB=MD+MB\ge BD\)
Dấu = xảy ra khi B, D, M thẳng hàng hay M là giao của BD và \(\left(\alpha\right)\)
\(\overrightarrow{DB}=\left(\dfrac{13}{3};\dfrac{4}{3};-\dfrac{11}{3}\right)\Rightarrow\)BD nhận (13;4;-11) là 1 vtcp
Phương trình BD: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+13t\\y=4t\\z=-1-11t\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Tọa độ M thỏa mãn:
\(2\left(2+13t\right)+4t-\left(-1-11t\right)+3=0\Rightarrow t=-\dfrac{8}{41}\)
\(\Rightarrow M\left(-\dfrac{22}{41};-\dfrac{32}{41};\dfrac{47}{41}\right)\)
