Câu 1.
Dùng tọa độ
Đặt
D(0,0), A(0,a), với a > 0
Chọn trục Oy trùng AD
Vì AD là phân giác góc BAC nên có thể đặt
AB: y = a + nx
AC: y = a - nx, với n > 0
Gọi BC có phương trình
y = mx, với |m| < n
do D ∈ BC
Suy ra
B = AB ∩ BC = (-a/(n-m), -am/(n-m))
C = AC ∩ BC = (a/(n+m), am/(n+m))
Vì M là trung điểm AD và MB = ME nên M cũng là trung điểm BE
nên hai đường chéo AD và BE của tứ giác ABDE cắt nhau tại trung điểm
suy ra ABDE là hình bình hành
Do đó
DE ∥ AB, AE ∥ BD ∥ BC
Từ E = A + D - B = A - B, ta có
E = (a/(n-m), an/(n-m))
Vì AD cũng là phân giác góc KAE, mà AE ∥ BC có hệ số góc m
nên AK là ảnh đối xứng của AE qua AD, tức có hệ số góc -m
suy ra
AK: y = a - mx
Lại có K ∈ BC, nên K là giao của
y = mx và y = a - mx
Từ đó
K(a/(2m), a/2)
Tiếp theo, DE đi qua D và E nên
DE: y = nx
Tìm H = AC ∩ DE
ta giải
y = a - nx
y = nx
Suy ra
H(a/(2n), a/2)
Tìm F = AK ∩ DE
ta giải
y = a - mx
y = nx
Suy ra
F(a/(n+m), an/(n+m))
Ta đã có
C(a/(n+m), am/(n+m))
Gọi I là trung điểm của FC
thì
I_x = (a/(n+m) + a/(n+m))/2 = a/(n+m)
I_y = (an/(n+m) + am/(n+m))/2 = a(n+m)/(2(n+m)) = a/2
Vậy
I(a/(n+m), a/2)
Mà
K(a/(2m), a/2), H(a/(2n), a/2), I(a/(n+m), a/2)
Ba điểm K, H, I cùng có tung độ bằng a/2
nên thẳng hàng
Suy ra KH đi qua trung điểm của FC
Điều phải chứng minh.