Chứng minh rằng phương trình :
a) \(x^5-5x+1=0\) có ít nhất ba nghiệm
b) \(m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3=0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m
c) \(x^3-3x=m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của \(m\in\left(-2;2\right)\)
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3+8x+1}{x-2}\)
Phương trình \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm hay không :
a) trong khoảng \(\left(1;3\right)\) ?
b) trong khoảng \(\left(-3;1\right)\) ?
Giả sử hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\) đều liên tục trên đoạn \(\left[0;1\right]\) và \(f\left(0\right)=f\left(1\right)\).
Chứng minh rằng phương trình \(f\left(x\right)-f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\) ?
Tham khảo:
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
