Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) Hệ số góc của tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến

     • Hệ số góc của tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(k=y'\left(x_0\right)\)

     • Phương trình tiếp tuyến tại M (\(x_0;y_0\)) là \(y=y'\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0\) 

a. Tiếp tuyến tại điểm M(\(x_0;y_0\)).

     • Tính \(y_0\Rightarrow y'\left(x_0\right)\) ⇒ PTTT.

Lưu ý.

∗ Nếu đề bài chỉ cho \(x_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và tính \(y_0=y'\left(x_0\right)\).

∗ Nếu đề chỉ cho \(y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và giải phương trình \(y_0=y'\left(x_0\right)\Rightarrow x_0\) 

∗ Nếu đề chưa cho \(x_0;y_0\) thì gọi điểm tiếp xúc là M(\(x_0;y_0\)) và lập phương trình tiếp tuyến theo x0.

b. Tiếp tuyến biết hệ số góc k.

• Gọi điểm tiếp xúc M(\(x_0;y_0\)); Tính \(y'\) ; Giải phương trình \(y'\left(x_0\right)=k\Rightarrow x_0;y_0\)⇒ Phương trình tiếp tuyến.

Lưu ý.

∗ Tiếp tuyến song song ∆ ⇒ kT T = k∆.

∗ Tiếp tuyến vuông góc ∆ ⇒ kT T = − 1 k∆

2) Các dạng bài tập 

Dạng 1 : Viết  phương trình tiếp tuyến 

Ví dụ 1 :

Cho hàm số \(y=x^4-8x^2+m+1\)  \(\left(C_m\right)\). Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị  \(\left(C_m\right)\) tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) luôn cắt đồ thị  \(\left(C_m\right)\) tại 3 điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm.

Bài giải :

Ta có : \(y'=4x^3-16x\)

Vì \(x_0=1\Rightarrow y_0=m-6\)

                        \(y'\left(x_0\right)=-12\)

Phương trình tiếp tuyến d của  \(\left(C_m\right)\)tại điểm có hoành độ \(x_0=1\) là :

\(y=-12\left(x-1\right)+m-6=-12x+m+6\)

Phương trình hoành độ giao điểm của  \(\left(C_m\right)\) với d là :

\(x^4-8x^2+m+1=-12x+m+6\Leftrightarrow x^4-8x^2+12x-5=0\)

                                                                   \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x-5\right)=0\)

                                                                   \(\Leftrightarrow x=1;x=-1\pm\sqrt{6}\)

Vậy d và  \(\left(C_m\right)\) luôn cắt nhau tại 3 điểm phân biệt :

\(A\left(1;m-6\right);B\left(-1\pm\sqrt{6};m+18\right)\) (vì \(m-6\ne m+18\))

Ví dụ 2 : Cho hàm số \(y=-x^4-\frac{1}{2}x^2+6\left(C\right)\). Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) biết :

a. \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d:y=\frac{1}{5}x-1\)

b.\(\Delta\) tạo với hai đường thẳng \(d_1:2x-y+2=0\)

                                                \(d_2:x-2y+3=0\) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của \(d_1,d_2\)

Bài giải 

giải :Tập xác định : D = R

Gọi tiếp điểm là \(M\left(x_0;y_0\right);y'=-4x^3-x\)

Hệ số góc của \(\Delta\) là \(k=y'\left(x_0\right)\)

a. Vì  \(\Delta\perp d\) nên \(\frac{1}{5}.k=-1\Leftrightarrow k=-5\Leftrightarrow-4x^3_0-x_0=-5\Leftrightarrow x_0=1\)

    (Chú ý: \(-4x_0^3-x_0=-5\Leftrightarrow\left(-4x_0^3+4x\right)-\left(5x_0-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x_0-1\right)\left(4x_0^2+4x+5\right)=0\Leftrightarrow x_0=1\))

          \(x_0=1\Rightarrow y\left(x_0\right)=-1-\frac{1}{2}+6=\frac{9}{2}\Rightarrow\Delta:y=-5\left(x-1\right)+\frac{9}{2}\Leftrightarrow\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

Vậy tiếp tuyến vuông góc với d của (C) là \(\Delta:y=-5x+\frac{19}{2}\)

b. Phân giác của hai đường thẳng \(d_1;d_2\) là :

\(\frac{\left|2x-y+2\right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left|x-2y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-x+1\\y=x+\frac{5}{3}\end{array}\right.\)

Từ giả thiết suy ra \(\Delta\) vuông góc với các đường phân giác của  \(d_1;d_2\) nên hệ số góc của  \(\Delta\)  là \(\pm1\) ( \(\Delta\)  không đi qua giao điểm của   \(d_1;d_2\)

* Trường hợp 1 : Với k = 1 ta có \(-4x^3_0-x_0=1\Leftrightarrow x_0=-\frac{1}{2}\Rightarrow y_0=\frac{93}{16}\)

                             Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x+\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{101}{16}\)

* Trường hợp 2 : Với k = -1 ta có \(-4x^3_0-4x_0=-1\Leftrightarrow x_0=\frac{1}{2}\)

                             Suy ra \(\Delta:y-\frac{93}{16}=x-\frac{1}{2}\) hay \(y=x+\frac{85}{16}\)

Dạng 2 : Tìm tọa độ điểm thỏa mãn tính chất của tiếp tuyến và số tiếp tuyến

Ví dụ 1 : Cho hàm số \(y=\frac{2x}{x-1}\) có đồ thị (C). Tìm 2 điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các điểm đó song song với nhau, đồng thời 3 điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O (O là gốc tọa độ)
Bài giải :
Gọi \(A\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);B\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)  (với \(a,b\ne0;a,b\ne1;a\ne b\))
Khi đó hệ số góc của các đường tiếp tuyến tại A và B lần lượt là :
\(k_1=-\frac{2}{\left(a-1\right)^2};k_2=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\)
Do các đường tiếp tuyến song song nên :
\(-\frac{2}{\left(a-1\right)^2}=-\frac{2}{\left(b-1\right)^2}\Leftrightarrow a+b=2\)
Mặt khác, ta có : \(\overrightarrow{OA}=\left(a;\frac{2a}{a-1}\right);\overrightarrow{OB}=\left(b;\frac{2b}{b-1}\right)\)
Do OAB là tam giác vuông tại O nên \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\)
Ta có hệ \(\begin{cases}a+b=2\\ab+\frac{4ab}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được \(\begin{cases}a=-1\\b=3\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}a=3\\b=-1\end{cases}\)
Vậy 2 điểm cần tìm có tọa độ là : (-1;1) và (3;3)
Ví dụ 2 : Tìm tất cả những điểm nằm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ tới đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-1\) đúng 3 tiếp tuyến
Bài giải 
Xét \(M\left(0;m\right)\in Oy\)
Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình : \(y=kx+m\)
d là tiếp tuyến suy ra hệ : \(\begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+m\\4x^3-4x=k\end{cases}\) có nghiệm
Thế k vào phương trình thứ nhất, ta được :
\(-x^4-2x^2-1=4x^4-4x^2+m\Leftrightarrow5x^4-2x^2+1+m=0\) (*)
Để từ M ta có thể kẻ đến đồ thị đúng 3 tiếp tuyến suy ra (*) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow m+1=0\Leftrightarrow m=-1\)
Khi đó (*) có 3 nghiệm \(x=0;x=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\)
Vậy 3 tiếp tuyến đó là :
\(y=-1;y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}x-1\)

 

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...