Câu 1: Có P là số nguyên tố.

Nếu P = 2 thì P + 7 = 9 \(⋮\)3 (là hợp số)

Nếu P = 3 thì P + 7 = 10 \(⋮\)5 (là hợp số)

Nếu P > 3 thì P có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2.(k \(\in\)N*)

Nếu P có dạng 3k + 2 thì P + 7 = 3k + 9 \(⋮\)3 (là hợp số)

Nếu P có dạng 3k + 1 thì P + 1 = 3k + 8.

Nếu 3k chẵn thì 3k + 8 \(⋮\)2 (là hợp số)

Còn 3k lẻ thì mình chưa biết.

Câu 3:

Ta có A = \(\dfrac{x}{x+y}\)+\(\dfrac{y}{y+z}\)+\(\dfrac{z}{z+x}\)

Vì x;y;z là các số nguyên dương nên:

\(\dfrac{x}{x+y+z}\)<\(\dfrac{x}{x+y}\)<\(\dfrac{x+z}{x+y+z}\)

\(\dfrac{y}{x+y+z}\)<\(\dfrac{y}{y+z}\)<\(\dfrac{y+x}{x+y+z}\)

\(\dfrac{z}{x+y+z}\)<\(\dfrac{z}{z+x}\)<\(\dfrac{z+y}{x+z+y}\)

Do đó \(\dfrac{x+y+z}{x+y+z}\) < A < \(\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)

Hay 1 < A < 2 \(\Rightarrow\)A không phải là số nguyên.

Câu 2: A = \(\dfrac{3n+2}{n+1}\)

Để A nhận giá trị nguyên thì 3n + 2 \(⋮\)n + 1.

Ta có 3n + 2 \(⋮\) n + 1.

3n + 3 - 1 \(⋮\) n + 1.

3(n+1) - 1 \(⋮\) n + 1 \(\Rightarrow\) -1 \(⋮\) n + 1 \(\Rightarrow\) n + 1 \(\in\)Ư(-1) = \(\left\{1;-1\right\}\)

Nếu n + 1 = -1 \(\Rightarrow\) n = -2.

Nếu n + 1 = 1 \(\Rightarrow\) n = 0.

Vậy n = -2 ; 0 thì A nhận giá trị nguyên.

Cho x;y;z là các số nguyên dương. Chứng minh rằng biểu thức sau không có giá trị nguyên.

A = \(\dfrac{x}{x+y}\) + \(\dfrac{y}{y+z}\) + \(\dfrac{z}{z+x}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số \(\dfrac{10a+b}{a+b}\) ( 10a + b là số có 2 chữ số)

Cho a;b;c;d khác 0 biết \(\dfrac{2a}{3b}\) = \(\dfrac{3b}{4c}\)= \(\dfrac{4c}{5d}\) = \(\dfrac{5d}{2a}\). Tính C = \(\dfrac{2a}{3b}\) + \(\dfrac{3b}{4c}\) + \(\dfrac{4c}{5d}\) + \(\dfrac{5d}{2a}\)

Tìm số nguyên x;y biết x²y - x + xy = 6