n không chia hết cho 3

\(\Rightarrow n\in\left\{3k+1;3k+2\right\}\) với \(k\in Z\)

Nếu n = 3k + 1 thì n² = (3k + 1)² = (3k)² + 3k.1 + 1² = 3k.(3k + 1) + 1

mà 3k.(3k + 1) chia hết cho 3 => 3k.(3k + 1) + 1 chia 3 dư 1

                                            => n² chia 3 dư 1 (1)

Nếu n = 3k + 2 thì n² = (3k + 2)² = (3k)² + 3k.2 + 2² = 3k.(3k + 2) + 4 = 3k.(3k + 2) + 3 + 1

mà 3k.(3k + 1) chia hết cho 3 => 3k.(3k + 1) + 3 chia hết cho 3

                                            => 3k.(3k + 1) + 3 + 1 chia 3 dư 1

                                            => n² chia 3 dư 1 (2)

Từ (1) và (2) => nếu n không chia hết cho 3 thì n² chia 3 dư 1 (đpcm)