Không thể chứng minh được vì mệnh đề này sai.

Ta nhận thấy:

8/9 < 1

24/25 < 1

48/49 < 1

...

10200/10201 < 1

Mẫu số là các số chính phương lẻ:

9 = 3²

25 = 5²

49 = 7²

...

10201 = 101²

Các mẫu số ứng với các số lẻ từ 3 đến 101.

Số số hạng là:

(101 - 3) : 2 + 1 = 50 số hạng

Vì mỗi số hạng đều nhỏ hơn 1 nên:

A < 50

Mà:

50 < 99,75

Suy ra:

A không thể lớn hơn 99,75.

Vậy đề bài có thể bị sai. Có thể đáp án đúng cần chứng minh là:

A > 49,75

chứ không phải A > 99,75.

Bài 11

Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác AD, D thuộc BC. Kẻ đường cao BE, gọi H là giao điểm của BE và AD.

a) Chứng minh: tam giác ABD = tam giác ACD

Vì tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC

AD là phân giác của góc A nên:

góc BAD = góc CAD

AD là cạnh chung.

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AB = AC

góc BAD = góc CAD

AD chung

Suy ra:

tam giác ABD = tam giác ACD

b) Chứng minh: AB + BH > AC + CD

Vì tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC

Do đó muốn chứng minh:

AB + BH > AC + CD

ta chỉ cần chứng minh:

BH > CD

Từ câu a, suy ra:

BD = CD

Vì tam giác ABC cân tại A, AD vừa là phân giác vừa là đường cao nên:

AD vuông góc BC

Suy ra tam giác BHD vuông tại D.

Trong tam giác vuông BHD, cạnh huyền BH lớn hơn cạnh góc vuông BD:

BH > BD

Mà BD = CD nên:

BH > CD

Vậy:

AB + BH > AC + CD

c) Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh AD, BE, CK đồng quy.

Ta có:

AD vuông góc BC nên AD là đường cao của tam giác ABC.

BE vuông góc AC nên BE là đường cao của tam giác ABC.

CK vuông góc AB nên CK là đường cao của tam giác ABC.

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm.

Vậy AD, BE, CK đồng quy.

Nếu không có trận Bạch Đằng năm 938, lịch sử nước ta có thể sẽ rất khác.

Trận Bạch Đằng năm 938 do Ngô Quyền lãnh đạo đã đánh bại quân Nam Hán, chấm dứt hơn 1000 năm Bắc thuộc và mở ra thời kì độc lập lâu dài cho dân tộc ta.

Nếu không có chiến thắng Bạch Đằng năm 938 thì:

Nước ta có thể tiếp tục bị phong kiến phương Bắc đô hộ.

Nhân dân ta có thể phải tiếp tục chịu áp bức, bóc lột nặng nề.

Văn hóa, phong tục, tiếng nói và bản sắc dân tộc có thể bị ảnh hưởng nghiêm trọng hơn.

Quá trình xây dựng một quốc gia độc lập, tự chủ có thể bị chậm lại trong nhiều năm hoặc nhiều thế kỉ.

Các triều đại độc lập sau này như nhà Ngô, nhà Đinh, nhà Tiền Lê, nhà Lý, nhà Trần có thể không ra đời đúng như lịch sử đã diễn ra.

Dân tộc ta có thể mất thêm nhiều thời gian và xương máu để giành lại độc lập.

Vì vậy, trận Bạch Đằng năm 938 có ý nghĩa vô cùng quan trọng. Chiến thắng này khẳng định ý chí độc lập, tinh thần yêu nước và tài trí quân sự của dân tộc ta. Đây là mốc son chói lọi mở đầu thời kì độc lập tự chủ lâu dài trong lịch sử Việt Nam.

Bài giải

Cho hình nón có:

Bán kính đáy: R = 15 cm

Chiều cao: H = 30 cm

Hình trụ đặc có bán kính đáy: r = 10 cm

a) Thể tích của cái phễu

Thể tích hình nón là:

V = 1/3 . π . R² . H

V = 1/3 . π . 15² . 30

V = 1/3 . π . 225 . 30

V = 2250π cm³

Đáp số câu a: 2250π cm³

b) Thể tích và chiều cao của khối nước còn lại

Vì hình trụ đặt vừa khít trong hình nón nên bán kính mặt trên của hình trụ bằng bán kính mặt cắt của hình nón tại độ cao của hình trụ.

Gọi chiều cao hình trụ là h.

Theo tính chất đồng dạng trong hình nón:

Bán kính hình nón giảm từ 15 cm ở đáy xuống 0 cm ở đỉnh.

Ta có:

10/15 = (30 - h)/30

2/3 = (30 - h)/30

30 - h = 20

h = 10 cm

Vậy chiều cao hình trụ là 10 cm.

Thể tích hình trụ là:

Vtrụ = π . r² . h

Vtrụ = π . 10² . 10

Vtrụ = 1000π cm³

Ban đầu phễu đầy nước, khi có hình trụ đặc bên trong thì lượng nước chiếm phần còn lại của hình nón.

Thể tích nước còn lại là:

Vnước = Vnón - Vtrụ

Vnước = 2250π - 1000π

Vnước = 1250π cm³

Vậy thể tích khối nước còn lại là:

1250π cm³

Tính chiều cao khối nước còn lại sau khi nhấc hình trụ ra:

Gọi chiều cao mực nước còn lại trong phễu là x cm.

Do phễu là hình nón nên bán kính mặt nước là:

r/x = 15/30 = 1/2

Suy ra:

r = x/2

Thể tích nước là:

V = 1/3 . π . r² . x

V = 1/3 . π . (x/2)² . x

V = πx³/12

Theo đề bài:

πx³/12 = 1250π

x³/12 = 1250

x³ = 15000

x ≈ 24,66 cm

Đáp số câu b:

Thể tích nước còn lại: 1250π cm³

Chiều cao mực nước còn lại: 24,66 cm