HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
\(\frac{P}{4}=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-xy}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=a\)
\(\frac{\Rightarrow P}{4}=\frac{a^2+1}{a^2-a+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(P-4\right)-Pa+P-4=0\)
Xét \(\Delta=P^2-4\left(P-4\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{8}{3}\le P\le8\)
https://hoc247.net/hoi-dap/toan-10/chung-minh-can-a-b-c-can-b-a-c-can-c-a-b-2-faq135289.html
\(A=\frac{a}{ab+c\left(a+b+c\right)}+\frac{b}{bc+a\left(a+b+c\right)}+\frac{c}{ca+b\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c}{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(A=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge27.\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8\left(a+b+c\right)^3}\)\(=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{8}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{8}\)\(\ge\frac{9-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{8}=\frac{9-3}{8}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
x2 - (2m+1)x + 2m - 4 = 0
\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(2m-4\right)\)
\(=4m^2-4m+17>0\)
=> PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2+4\)
\(=4m^2+4m+1-12m+28\)
\(=4m^2-8m+29=4\left(m-1\right)^2+25\ge25\)
Dấu "=" xảy ra khi m=1
Lấy PT1 trừ PT2 ta được
\(\sqrt{4x+y}-\frac{5}{3}x+\frac{1}{6}y=3\)
\(\Leftrightarrow6\sqrt{4x+y}-10x+y=18\)
đặt \(\sqrt{4x+y}=a\left(a\ge0\right)\)
\(\Rightarrow6a-\frac{5a^2-7y}{2}=18\)
\(\Leftrightarrow12a-5a^2+7y=36\)
Giải a theo y, rồi thay vào