Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1}=1\)

Mạng điện lưới quốc gia truyền tải dòng điện 500kV. Giả sử dòng điện truyền từ Bắc vào Nam
(1700km), công suất được truyền tải là 5000MW. Hỏi công suất hao phí là bao nhiêu, biết mỗi km dây
điện có điện trở 1Ω. Tính tỉ số P hp /P? Nhận xét.

Một máy biến thế có hai cuộn dây: Nếu đặt vào hai đầu cuộn thứ nhất một hiệu điện thế U 1 = 10V
thì hiệu điện thế lấy ra ở cuộn thứ hai là U 2 = 80V. Nếu đặt vào hai đầu cuộn thứ hai một hiệu điện thế U 1 / =
200V thì hiệu điện thế lấy ra ở hai đầu cuộn thứ nhất U 2 / là bao nhiêu?

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=a²+b²+c²-3ab

Cho tam giác ABC (AB<AC) nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E ( D nằm giữa B và E) sao cho góc DAB= góc EAC. Các tia AD và AE cắt lại đường trong (O) tại I và J.

a) Chứng minh rằng: Phân giác của góc BAC đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tron tâm O.

b) Chứng minh rằng: Tứ giác BCIJ là hình thang cân.

c) Kẻ tiếp tuyến xy của đường tròn (O) tại điểm A.Chứng minh rằng: Đường thẳng xy cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Cho đường tròn (O) đường kính BC, Trên đường tròn (O) lấy điểm A sao cho AB<AC. Trên OC lấy điểm M sao cho M nằm giữa O và C. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của ia AB tại N, cắt AC tại E. Đường thẳng NM cắt đường tròn (O) tại F và K (F nằm giữa E và N)

a)Chứng minh: Bốn điểm A, B, M, E cùng thuộc một đường tròn và chứng minh bốn điểm N, A, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Vẽ tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tại H. Chứng minh tam giác AHE là tam giác cân.

c) Gọi giao điểm thứ 2 của đường thẳng NC với đường tròn (O) là D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2xy=0\\\frac{2y-xy}{3-2x}=1\end{matrix}\right.\)

Rút gọn biểu thức:

\(\frac{x\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}-x-1}{1-\sqrt{x}}\)

Với x, y không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

\(P=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2009,5\)