\(y=\left|x^4-4x^2\right|\)

Xét \(f\left(x\right)=x^4-4x^2\)

\(f'\left(x\right)=4x^3-8x\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\\x=0\end{matrix}\right.\)

BBT:

\(x\)          \(-vc\)            \(-\sqrt{2}\)             \(0\)           \(\sqrt{2}\)          \(+vc\)

\(f'\left(x\right)\)               \(-\)        \(0\)      \(+\)     \(0\)      \(-\)     \(0\)      \(+\)

\(f\left(x\right)\)             (xg)     \(-4\)    (lên)  \(0\)    (xg)  \(-4\)   (lên)

\(\left|f\left(x\right)\right|\)  (phần đồ thị trên Ox giữ nguyên, phần đồ thị dưới Ox lấy đối xứng qua trục Ox)

5 cực trị

TN: \(f\left(x\right)=x^4-4x^2\) có 3 cực trị (là nghiệm pt \(f'\left(x\right)=0\) , 3 giao điểm với Ox( là nghiệm pt \(f\left(x\right)=0\), 1 cực trị thuộc Ox (là cực trị mà khi thay vào \(f\left(x\right)\) làm cho \(f\left(x\right)=0\))

Hàm \(\left|f\left(x\right)\right|\) có  3+3-1=5 cực trị

4)\(y=2\left(\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x\right)+1\)\(=2\left(sin2x.cos\dfrac{\pi}{3}-cos2x.sin\dfrac{\pi}{3}\right)+1\)

\(=2sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+1\)

mà \(-2\le2sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le2\)

\(\Leftrightarrow-1\le y\le3\)

\(miny=-1\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-1\)\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}+k\pi\)

\(maxy=3\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi\)

Vậy 

2)\(y=1-2.sin\dfrac{x}{2}.cos\dfrac{x}{2}+cos2x=1-sinx+\left(1-2sin^2x\right)\)

\(=-2sin^2x-sinx+2\)

Đặt \(t=sinx,t\in\left[-1;1\right]\)

Xét \(f\left(t\right)=-2t^2+2-t\)

Vẽ BBT(dạng như này, lười quá)

\(t\)              \(-1\)         \(-\dfrac{1}{4}\)        \(1\)

\(f\left(t\right)\)          \(1\)           \(\dfrac{17}{8}\)         \(-1\)

\(miny=minf\left(t\right)=-1\Leftrightarrow sinx=-1\)\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(maxy=maxf\left(t\right)=\dfrac{17}{8}\Leftrightarrow sinx=-\dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=arcsin\left(-\dfrac{1}{4}\right)+k2\pi\\x=\pi-arcsin\left(-\dfrac{1}{4}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

1)\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2x.cos^2x-4+cos2x\)

\(=-3-\dfrac{1}{2}sin^22x+cos2x\)

\(=-\dfrac{1}{2}\left(1-cos^22x\right)-3+cos2x\)

\(=\dfrac{1}{2}cos^22x+cos2x-\dfrac{7}{2}\)

Đặt \(t=cos2x,t\in\left[-1;1\right]\)

Xét \(f\left(t\right)=\dfrac{1}{2}t^2+t-\dfrac{7}{2}\), \(I\left(-1;-4\right)\)

Vẽ BBT, khoảng từ \(\left(-1;+vc\right)\) hàm \(f\left(t\right)\) đồng biến

\(miny=\min\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(t\right)=-4\Leftrightarrow t=-1\Leftrightarrow cos2x=-1\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

\(maxy=\max\limits_{\left[-1;1\right]}f\left(t\right)=-2\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow cos2x=1\)\(\Leftrightarrow x=k\pi\)

Vậy...

Áp dụng cosi:

\(\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+c^2\right)+\left(c^2+a^2\right)\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le\dfrac{1}{3}\)

\(A=\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ac}+\dfrac{1}{c^2+ab}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2bc}+\dfrac{1}{2ca}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\right)\)

Áp dụng svac-xơ:

\(A\ge\dfrac{\left(1+1+1+1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}\)\(=\dfrac{36}{\left(a+b+c\right)^2+\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{9}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)\(\ge\dfrac{36}{1+\dfrac{1}{3}}+\dfrac{9}{\dfrac{2}{3}}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{81}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\) 

Vậy \(minA=\dfrac{81}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\left(\sqrt{x}+1\right)=x+8\)

\(\Leftrightarrow x-P\sqrt{x}+8-P=0\) (*)

Coi pt (*) là pt bậc 2 ẩn \(\sqrt{x}\) 

Pt (*) có nghiệm  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}P^2-4\left(8-P\right)\ge0\\P\ge0\\8-P\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}P\le-8;P\ge4\\P\ge0\\P\le8\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4\le P\le8\)

Vậy \(maxP=8\) (dấu bằng luôn xảy ra, muốn tìm x thay ngược vào pt (*))

Nãy thiếu đk của a nên k tìm thấy min -_-

Nãy thiếu đk của a nên k tìm thấy min -_-

Đặt \(a=\sqrt{9-x^2}\left(a\ge0\right)\Rightarrow9-a^2=x^2\)

\(P=2\left(9-a^2\right)-a=-2a^2-a+18\)

\(\forall a\ge0\Rightarrow-2a^2-a\le0\Leftrightarrow P\le18\)

Không tồn tại min

Vậy \(maxP=18\Leftrightarrow x=\pm3\)

Nếu lấy thì min còn xảy ra tại -2 nữa nên k lấy dấu =