• Đặt \(S_{ABC}=S;S_{MBC}=S_1;S_{MAC}=S_2;S_{MAB}=S_3\)

• Dựng MK ⊥ BC và AH ⊥ BC

⇒ MK // AH

\(\Rightarrow\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{MK}{AH}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times MK\times BC}{\dfrac{1}{2}\times AH\times BC}=\dfrac{S_1}{S}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AD}=1-\dfrac{MD}{AD}=1-\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{S_2+S_3}{S}\)

• Tương tự, ta cũng có: \(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{S_1+S_3}{S};\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{S_1+S_2}{S}\)

• Cộng vế theo vế, ta có:

\(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BM}{BE}+\dfrac{CM}{CF}=\dfrac{2\left(S_1+S_2+S_3\right)}{S}=2=const\)

Vậy ta có đpcm.

\(\dfrac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\dfrac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\dfrac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=\dfrac{3}{4}\)\(\left(\left\{{}\begin{matrix}x>2009\\y>2010\\z>2011\end{matrix}\right.\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{y-2010}-1}{y-2010}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{z-2011}-1}{z-2011}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2009-4\sqrt{x-2009}+4}{x-2009}+\dfrac{y-2010-4\sqrt{y-2010}+4}{y-2010}+\dfrac{z-2011-4\sqrt{z-2011}+4}{z-2011}=0\)

Nhận xét: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(\sqrt{x-2009}-2\right)^2}{x-2009}\ge0\\\dfrac{\left(\sqrt{y-2010}-2\right)^2}{y-2010}\ge0\\\dfrac{\left(\sqrt{z-2011}-2\right)^2}{z-2011}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2009}-2=0\\\sqrt{y-2010}-2=0\\\sqrt{z-2011}-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2013\\y=2014\\z=2015\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(2013;2014;2015\right)\)

Dãy các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là:

            102;105;108;...;999

Số số hạng của dãy trên là:

           (999-102):3+1=300(số)

Trung bình cộng của tất cả các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là:

            (999+102)*300:2:300=550,5

\(5x^2+y^2=17+2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+4x^2=17\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+4x^2=17=1+4\times2^2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)

Nếu a=1 b=2 a+b van chia het cho 3

Gọi x và y (xe) lần lượt là số xe lớn và số xe nhỏ.

Điều kiện: x, y > 0

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-x+y=2\\\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{y}=15\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=2\\180\times\dfrac{y-x}{xy}=15\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-x=2\\xy=\dfrac{180\times2}{15}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2+x\\x\left(2+x\right)=24\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2+x\\\left(x+6\right)\left(x-4\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2+x\\\left[{}\begin{matrix}x=-6\left(loai\right)\\x=4\left(nhan\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=6\end{matrix}\right.\)

Vậy có 4 xe lớn.

14 GÀ 

22 CHÓ

 (2x-3)-(x+7-13)=4

2x-3-x-7+13=4

2x-x-3-7+13=4

2x-x+3=4

2x-x=1

x=1

Vậy x=1

ủng hộ tròn 600 nha

Đặt \(\left|3x-1\right|=b\left(b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow B=b^2-4b+5=\left(b-2\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(b-2=0\)

\(\Rightarrow\left|3x-1\right|=2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-1=2\\3x-1=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy Min B = 1 khi x = 1 hoặc x = - 1/3

\(\dfrac{1}{x^2-3x+3}+\dfrac{2}{x^2-3x+4}=\dfrac{6}{x^2-3x+5}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{x^2-3x+3}+1-\dfrac{2}{x^2-3x+4}=2-\dfrac{6}{x^2-3x+5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-3x+3}+\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-3x+4}=\dfrac{2x^2-6x+4}{x^2-3x+5}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(\dfrac{1}{x^2-3x+3}+\dfrac{1}{x^2-3x+4}-\dfrac{2}{x^2-3x+5}\right)=0\left(1\right)\)

Nhận xét:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+3< x^2-3x+5\\x^2-3x+4< x^2-3x+5\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2-3x+3}>\dfrac{1}{x^2-3x+5}\\\dfrac{1}{x^2-3x+4}>\dfrac{1}{x^2-3x+5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2-3x+3}+\dfrac{1}{x^2-3x+4}>\dfrac{2}{x^2-3x+5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2-3x+3}+\dfrac{1}{x^2-3x+4}-\dfrac{2}{x^2-3x+5}>0\)

Suy ra \(\left(1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S=\left\{1;2\right\}\)