CMR nếu n là số nguyên thì n⁵+5n³-6n chia hết cho 30

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh S_AHG=2.S_AGO

Cho (O, R) và điểm S nằm ngoài đường tròn. SA, SB là hai tiếp tuyến. Đường thẳng a đi qua S cắt (O) tại M và N (M nằm giữa S và N, a không đi qua tâm O), I là trung điểm của MN. Hai đường thẳng AB và OI cắt nhau tại E.

a, Chứng minh OI.OE=R²

b, Cho SO=2R, MN=R\(\sqrt{3}\). Tính S_ESM

c, Một đường thẳng đi qua I cắt các tia đối của các tia HF, ES tại P, Q. CMR \(\frac{4S_{HEI}}{S_{SPQ}}\le\left(\frac{HE}{SI}\right)^2\)

Cho tam giác ABC đều nội tiếp một đường tròn. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn đã cho tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt dây TA, TB, TC lần lượt ở D, E, F. Chứng minh:

a, EF//BC, DF//AC, DE//AB

b, CT=TA+TB

c, Từ các điểm A, B, C vẽ các tiếp tuyến AM, BN, CP với đường tròn nhỏ. Chứng minh CP= AM+BN

Cho tam giác ABC đều nội tiếp một đường tròn. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn đã cho tại điểm T trên cung nhỏ AB và cắt dây TA, TB, TC lần lượt ở D, E, F. Chứng minh:

a, EF//BC, DF//AC, DE//AB

b, CT=TA+TB

c, Từ các điểm A, B, C vẽ các tiếp tuyến AM, BN, CP với đường tròn nhỏ. Chứng minh CP= AM+BN

Tìm số nguyên m để \(\sqrt{m^2+m+23}\)là số hữu tỉ

Chứng minh rằng trong 30 số tự nhiên liên tiếp lớn hơn 5 có ít nhất 22 hợp số.

CMR nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì p-4 không thể là lũy thừa bậc 4 của một số tự nhiên.