D nằm ở đâu? M nằm ở đâu?

Mọi người giúp em giải câu c, d bài hình với. Em chỉ mới giải được a, b (xem bên dưới)

a) Dễ chứng minh \(\Delta ABH\sim \Delta EDH(g.g) \to\angle EDH=\angle ABH.\)

Có \(\angle DEA=\angle EDH=\angle ABH\) nên tứ giác DBCE nội tiếp.

Xét phương trình của điểm A đối với (DBCE) ta có $AD\cdot AB=AE\cdot AC.$ 

*Chứng minh $DE\bot AO.$

Gọi \(AO\cap DE=\left\{X\right\}\). Ta có:

\(\angle XEA+\angle XAE=\angle ABC+\angle ACB=90^o\Rightarrow \angle AXE=90^o \Rightarrow AO\bot DE.\)

b) Ta có: 

\(\angle DAM+\angle DMN=90^o;\angle DMN+\angle HNM=90^o\to\angle DAM=\angle HNM.\)

Tương tự $\angle EAN=\angle HMN.$

Từ đây \(\angle DAM+\angle EAN=90^o\Rightarrow \angle MAN=90^o+\angle BAC=180^o.\)

Vậy \(\overline{M,A,N}\)

Hình vẽ:

[HÌNH HỌC CHUYÊN TOÁN 2021]

Nhằm hỗ trợ các bạn trong việc ôn thi chuyên toán (đặc biệt về mảng hình học), sau khi thảo luận với các admin của page Cuộc thi Trí tuệ VICE, mình xin phép lập ra chuyên mục [Hình học chuyên toán 2021]

Trả lời đúng và hay (không copy) sẽ được nhận 1-2GP/câu trả lời nha ^^

Các bạn ơi, đừng quên like/share bài viết của page và mời bạn bè thích page để nhận được những phần quà hấp dẫn của page nha. Ngoài ra các bạn có thể gửi những bài toán hay về cho page để được tính điểm xếp hạng nè.

Câu 1.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và $AB<AC.$ Vẽ đường cao AH, đường tròn đường kính HB cắt AB tại D và đường tròn đường kính HC cắt AC tại E.

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

b) Gọi I là giao của DE và BC. Chứng minh $IH^2=ID\cdot IE.$

c) Gọi $M,N$ lần lượt là giao của DE với đường tròn đường kính HB và đường tròn đường kính HC. Chứng minh giao điểm hai đường thẳng BM và CN năm trên đường thẳng AH.

Câu 2.

Cho tam giác nhọn ABC không cân có $AB<AC,$ trực tâm $H$ và đường trung tuyến AM. Gọi K là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AM,$ D là điểm đối xứng của $A$ qua $M$ và $L$ là điểm đối xứng của $K$ qua BC.

a) Chứng minh các tứ giác BCKH và ABLC nội tiếp.

b) Chứng minh $\angle LAB=\angle MAC.$

c) Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AL, X$ là giao của $AL$ và $BC.$ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $IXM$ tiếp xúc với nhau.

Câu 3.

Cho tam giác ABC là tam giác nhọn, không cân, có I là tâm đường tròn nội tiếp. Hai đường thẳng AI và BC cắt nhau tại điểm D. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của D qua các đường thẳng IB và IC.

a) Chứng minh EF//BC

b) Gọi M, N, J lần lượt là trung điểm $DE,DF,EF.$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM và tam giác AFN cắt nhau tại điểm thứ hai là P. Chứng minh $M,P,N,J$ đồng viên.

c) Chứng minh ba điểm $A,P,J$ thẳng hàng.

Ps. Em mượn hình của cô @Đỗ Quyên ạ.

Hình vẽ.

Câu 4.

a) Đây là hiển nhiên vì \(\angle FIB+\angle BEF=90^o+90^o=180^o\)

b) Ta có $\angle ACB=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên $AC^2=AI\cdot AB.$ Dễ dàng chứng minh \(\Delta IAF\sim \Delta EAB\Rightarrow\dfrac{IA}{AE}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AE\cdot AF=AI\cdot AB.\)

Từ đây thu được điều phải chứng minh.

c) Có $\angle ACF=\angle  ADC=\angle AEC$ nên AC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp CEF.

Mặt khác ta có $\angle ACB=90^o$ (câu b) tức $AC\bot CB$

Từ đây BC chứa tâm đường tròn ngoại tiếp CEF hay tâm đường ngoại tiếp CEF luôn di chuyển trên BC cố định.

Kèm em phần hình với anh, sắp ôn thi chuyên rồi:(

Hoc24 phiên bản mới bị lỗi ấy anh, bấm vô câu hỏi mới hiện.

Ps: Đây là lý do dạo nào em cảm thấy chán hoc24. Phiên bản cũ có lẽ vẫn ổn hơn.

Ta có: 

\(2\left(2x^2+xy+2y^2\right)=3\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)^2+1\left(x+y\right)^2=\dfrac{5}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)

Gợi ý. Dùng cái trên.

Bài toán. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là điểm nằm trên nửa đường tròn (C khác A, B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB; D là điểm đổi xứng với A qua C; I là trung điểm CH; J là trung điểm DH.

a) Chứng minh $\angle CIJ=\angle CBH$ (đã làm)

b) Chứng minh tam giác CJH đồng dạng với HIB (đã làm)

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh $HE\cdot HD=HC^2.$

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn để $AH+CH$ đạt Max.

Ps: Chán hoc24 phiên bản mới ghê, em đăng câu hỏi hơi dài (do có những thảo luận) mà hoc24 tự ý rút gọn làm mất nội dung câu hỏi. Đăng ảnh thì không hiển thị. Em phải đăng lại lần này là lần thứ 3.