Gọi số a có dạng:3k:3k+1:3k+2, ta có:

+trường hợp 1:a=3k thì:

a²=(3k)²

= 3k.3k

=9.k² chia hết cho 3

Suy ra:9.k² chia cho 3 dư 0.

+Trường hợp 2:a=3k+1 thì:

a²=(3k+1)²

^{= (3k+1)(3k+1)}

=9k² +3k+1+3k

^{=9k.k+6k+1 chia cho 3 dư 1}

^{+Trường hợp 2:a=3k+2 thì:}

a²=(3k+2)²

=(3k+2)(3k+2)

=9k²+6k+6k+4

=9k²+6k+6k+3+1 chia cho 3 dư 1

Vậy với \(a\in N\) thì a² chia cho 3 có số dư là:0;1;1

Trong hai số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có một số lẻ và một số chẵn.

Mà số chẵn chia hết cho hai nên trong hai số đó có một số chia hết cho 2

Vậy:trong 2 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 2 .

Theo bài ra, ta có:

A=10ⁿ+18n-1

=100..0 nchữ số 0 +9.2n-1

=999...9 nchứ số9 + 9 . 2n

=9.(111...1 n chữ số1 . 2n

=9.(111...1 nchữ số1 -n +3n

=9.(111...1 nchữ số1 ) + 27n(1)

Vì 111..1 nchữ số1 và n có cùng số dư trong phép chia cho 9 nên 111..1 nchữ số1 - n chia hết cho 9(2)

Từ (1) và (2) ta có;

A=9.(111...1 nchữ số1 ) +9.3 chia hết cho 9(lẽ ra cái nàyphải viết dấu ba chấm theo hàng dọc)

A=3.2.(111...1 nchữ số1 ) +9.3 chia hết cho 3(lẽ ra cái nàyphải viết dấu ba chấm theo hàng dọc)

Do đó:A chia hết cho 3.9

hay A chia hết cho 27

Vậy A=10ⁿ⁺18n -1 chia hết cho 27.