Ta có A = \(\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-2x+1}\)

= \(\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}\)

= \(\left|x+1\right|+\left|x-1\right|\)

* Nếu x < -1 thì A = -x - 1 - x + 1 = -2x > 2 (1)

* Nếu \(-1\le x\le1\) thì A = x + 1 - x + 1 = 2 (2)

* Nếu x > 1 thì A = x + 1 + x - 1 = 2x > 2 (3)

Từ (1), (2), (3) => min A = 2 \(\Leftrightarrow-1\le x\le1\)

a) \(\sqrt{9-12x+4x^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3-2x\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\left|3-2x\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3-2x=4\\3-2x=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-2x=1\\-2x=-7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1,5\\x=-3,5\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1,5; -3,5}

b) \(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-3\right|=1\)

* Với x < 1 thì x - 1 < 0 và x - 3 < 0, ta có phương trình:

1 - x + 3 - x = 1 \(\Leftrightarrow\) -2x = -3 \(\Leftrightarrow\) x = 1,5 (không thỏa mãn điều kiện x < 1)

* Với \(1\le x\le3\) thì \(x-1\ge0\) và \(x-3\le0\), ta có phương trình:

x - 1 + 3 - x = 1 \(\Leftrightarrow\) 0x = -1 \(\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm

* Với x > 3 thì x - 1 > 0 và x - 3 > 0, ta có phương trình:

x - 1 + x - 3 = 1 \(\Leftrightarrow\) 2x = 5 \(\Leftrightarrow\) x = 2,5 (không thỏa mãn điều kiện x > 3)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm, hay tập nghiệm của phương trình là \(S=\varnothing\)

a) Để A có nghĩa \(\Leftrightarrow4x^2-1\ge0\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2x-1\ge0\\2x+1\ge0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2x-1\le0\\2x+1\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{1}{2}\\x\ge-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\x\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{1}{2}\\x\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy A có nghĩa khi \(x\ge\dfrac{1}{2}\) hoặc \(x\le-\dfrac{1}{2}\)

b) Ta có 2x² + 4x + 5 = 2(x² + 2x + 1) + 3 = 2(x + 1)² + 3 > 0 với mọi x.

Vậy B có nghĩa với mọi x

c) Để C có nghĩa \(\Leftrightarrow2x-x^2>0\Leftrightarrow x\left(2-x\right)>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>0\\2-x>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\2-x< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x< 2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x>2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< x< 2\)

Vậy C có nghĩa khi 0 < x < 2

d) Để D có nghĩa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+\dfrac{3}{x}>0\\-3x\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+3}{x}>0\\-3x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện này.

Vậy không có giá trị của x để D có nghĩa

Giải

Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:

Giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữu tỉ. Như vậy \(\sqrt{5}\) có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản \(\dfrac{m}{n}\), tức là \(\sqrt{5}=\dfrac{m}{n}\)

=> \(\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(\dfrac{m}{n}\right)^2\) hay 5n² = m² (1)

Đẳng thức (1) chứng tỏ m² chia hết cho 5, mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5.

Đặt m = 5k (k \(\in\) Z), ta có m² = 25k² (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5n² = 25k² nên n² = 5k² (3)

Từ (3) ta lại có n² chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5.

m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số \(\dfrac{m}{n}\) không tối giản, trái giả thiết.

Vậy \(\sqrt{5}\) không là số hữu tỉ, do đó \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ.

a) Vì a và b là các số dương nên \(\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) đều xác định và đều là số dương.

Mặt khác theo giả thiết a > b nên a - b > 0. Ta có:

\(a-b=\left(\sqrt{a}\right)^2-\left(\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\) (*)

Vì a - b > 0 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\) , nên từ (*) suy ra \(\sqrt{a}-\sqrt{b}>0\), do đó \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)

b) Vì a và b là các số dương nên \(\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) đều xác định và đều là số dương.

Mặt khác theo giả thiết \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\) nên \(\sqrt{a}-\sqrt{b}>0\). Ta có:

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}=a-b\right)\) (**)

Vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\) và \(\sqrt{a}-\sqrt{b}>0\) nên từ (**) suy ra a - b > 0, do đó a > b

a) A = \(\sqrt{-x^2+x+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}\le\sqrt{1}=1\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\))

Vậy max A = 1 (khi và chỉ khi x = \(\dfrac{1}{2}\))

b) B = \(\sqrt{\left(2x^2-x-1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}=3\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1;x=-\dfrac{1}{2}\)).

Vậy min B = 3 (khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = \(-\dfrac{1}{2}\))

c) C = \(\left|5x-2\right|+\left|5x\right|=\left|2-5x\right|+\left|5x\right|\);

C \(\ge\left|2-5x+5x\right|=\left|2\right|=2\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2-5x\right).5x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\2-5x\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\2-5x\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0\le x\le\dfrac{2}{5}\)).

Vậy min C = 2 (khi và chỉ khi \(0\le x\le\dfrac{2}{5}\))

Thay 1 = ab + bc + ca, ta được:

a² + 1 = (a + b)(a + c);

b² + 1 = (b + c)(b + a);

c² + 1 = (c + a)(c + b)

Do đó B = (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1) = [(a + b)(b + c)(c + a)]²

=> \(\sqrt{B}=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)

Đó là một số hữu tỉ vì a, b, c là các số hữu tỉ

a) ĐKXĐ: \(2-x^2\ge0\Leftrightarrow\left|x\right|< \sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}\)

b) ĐKXĐ: \(5x^2-3>0\Leftrightarrow\left|x\right|>\sqrt{\dfrac{3}{5}}\Leftrightarrow x>\sqrt{\dfrac{3}{5}}\) hoặc \(x< -\sqrt{\dfrac{3}{5}}\)

c) ĐKXĐ: \(-\left(2x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

d) ĐKXĐ: \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)>0\Leftrightarrow x>1\) hoặc \(x< -2\)

a) Có \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\)

\(\sqrt{65}-1>\sqrt{64}-1=8-1=7\)

=> \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{65}-1\)

b) \(\dfrac{13-2\sqrt{3}}{6}>\dfrac{13-2\sqrt{4}}{6}=1,5\)

Mặt khác (1,5)² = 2,25 ; \(\left(\sqrt{2}\right)^2=2\)

=> 1,5 > \(\sqrt{2}\) , do đó \(\dfrac{13-2\sqrt{3}}{6}>\sqrt{2}\)

Ta có \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}-\dfrac{1}{bc}\right)\)

= \(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+2.\dfrac{c+b-a}{abc}\)

= \(\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2\) (vì a = b + c)

Suy ra \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right|\)

Do a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right|\) là một số hữu tỉ