Giải
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng:
Giả sử \(\sqrt{5}\) là số hữu tỉ. Như vậy \(\sqrt{5}\) có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản \(\dfrac{m}{n}\), tức là \(\sqrt{5}=\dfrac{m}{n}\)
=> \(\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(\dfrac{m}{n}\right)^2\) hay 5n2 = m2 (1)
Đẳng thức (1) chứng tỏ m2 chia hết cho 5, mà 5 là số nguyên tố nên m chia hết cho 5.
Đặt m = 5k (k \(\in\) Z), ta có m2 = 25k2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5n2 = 25k2 nên n2 = 5k2 (3)
Từ (3) ta lại có n2 chia hết cho 5 mà 5 là số nguyên tố nên n chia hết cho 5.
m và n cùng chia hết cho 5 nên phân số \(\dfrac{m}{n}\) không tối giản, trái giả thiết.
Vậy \(\sqrt{5}\) không là số hữu tỉ, do đó \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ.
