Ta có:

n.(n+15)

=n(n+1+14)

=n(n+1)+14n

mà n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)\(⋮2\) ⁽¹⁾ với mọi n (n\(\in N\))

Lại có: 14\(⋮2\)

=> 14n\(⋮2\) ⁽²⁾ với mọi n (n\(\in N\))

Từ (1), (2) ta có:

n(n+1)+14n\(⋮2\)

hay n(n+15)\(⋮2\) với mọi n (n\(\in N\))

a, Số học sinh nam của lớp 6C là:

42.\(\dfrac{2}{7}\)= 12 (học sinh)

Số học sinh nữ của lớp 6C là:

42-12=30 (học sinh)

Số xăng số xăng lấy đi lần thứ nhất là:

60.40%=24 (lít)

Số xăng lấy đi lần thứ hai là:

(60-24).\(\dfrac{3}{10}\)= 10,8 (lít)

Số xăng còn lại sau hai lần lấy đi là:

60-(24+10,8)=34,8 (lít)

Đổi 20 phút=\(\dfrac{1}{3}\) (h)

Gọi độ dài quãng đường AB là x (km) (x>0)

=> Thời gian khi đi là \(\dfrac{x}{25}\) (h)

Thời gian khi về là \(\dfrac{x}{30}\) (h)

Ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{25}-\dfrac{x}{30}=\dfrac{1}{3}\)

giải ra ta được x=50 (km) (thỏa mãn điều kiện)

vậy quãng đường AB dài 50 km

6/

Đổi 4 giờ 30 phút = 4,5 h

Gọi chiều dài quãng đường là x (km) (x>0)

=> thời gian khi đi là \(\dfrac{x}{15}\) (h)

thời gian khi về là \(\dfrac{x}{12}\) (h)

Ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{15}+\dfrac{x}{12}=4,5\)

Giải ra ta được x = 30 (km) ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường AB dài 30 km

5/

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm)(x>0)

=> chiều rộng hình chữ nhật là x-11(cm)

Ta có phương trình:

2(x+x-11)= 82

<=> 2(2x-11)=82

<=> 4x -22 =82

<=> 4x =104

<=> x=26 (thỏa mãn điều kiện)

=> chiều dài là 26cm

=> chiều rộng là 26-11=15 (cm)

=> diện tích hình chữ nhật là : 26.15=390 (cm²)

vậy diện tích hình chữ nhật là 390 cm²

Goi x là số cam mẹ An bán được và y là số tự nhiên khác o. Theo bài ra có:

x = y² = 8.y + 9. Suy ra y² - 8y = 9  tương đương y( y - 8 ) = 9 xảy ra 2 trường hợp: 

a,   y = 9 hoặc y - 8 = 1 ta đều có y = 9

b,   y = 1 hoặc y - 8 = 9 có y = 17 (loại)

Vậy số cam mẹ An bán được sẽ là: x = y² = 9.9 = 81 (quả)

Đổi 30 phút = \(\dfrac{1}{2}\) h

Gọi độ dài quãng đường AB là x km ( x>0)

=> Thời gian khi đi là \(\dfrac{x}{50}\) (h)

Thời gian khi về là \(\dfrac{x}{60}\) (h)

Theo đề ra ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{50}-\dfrac{x}{60}=\dfrac{1}{2}\)

giải ra ta được x= 150 (km) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường AB dài 150 km

1/

Ta có: 6x⁴ -x³-7x²+x+1=0

<=> 6x⁴-6x³+5x³-5x²-2x²+2x-x+1=0

<=> 6x³(x-1)+5x²(x-1)-2x(x-1)-(x-1)=0

<=> (x-1) ( 6x³+5x²-2x-1)=0

<=> ( x-1) ( 6x³-3x²+8x²-4x+2x-1)=0

<=> (x-1)\(\left[3x^2\left(2x-1\right)+4x\left(2x-1\right)+\left(2x-1\right)\right]\)=0

<=> (x-1) ( 2x-1) ( 3x²+4x+1)=0

<=> (x-1) ( 2x-1) (3x²+3x+x+1)=0

<=> (x-1) (2x-1) \(\left[3x\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\right]\)=0

<=> (x-1)(2x-1)(x+1)(3x+1)=0

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\2x-1=0\\x+1=0\\3x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\2x=1\\x=-1\\3x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{2}\\x=-1\\x=\dfrac{-1}{3}\end{matrix}\right.\)

vậy \(S=\left\{\pm1;\dfrac{1}{2};\dfrac{-1}{3}\right\}\)

ĐKXĐ: \(x\ne1\)

Ta có: \(I=\dfrac{3x^2-8x+6}{x^2-2x+1}=\dfrac{2x^2-4x+2+x^2-4x+4}{x^2-2x+1}\) \(=\dfrac{2\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-2x+1}+\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-2x+1}\) \(=2+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\)

mà \(\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\ge0\) với mọi \(x\ne1\)

=> \(2+\dfrac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\ge2\) với mọi \(x\ne1\)

dấu "=" xảy ra khi x =2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy GTNN của I = 2 khi x=2