Bài 2:

a)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

\(M=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)+\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\times\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\) (*)

b)

Thay x = 0,25 vào (*), ta có:

\(M=\dfrac{2}{\sqrt{\dfrac{1}{4}}+1}=\dfrac{4}{3}\)

c)

\(M\ge1\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\ge1\)

\(\Leftrightarrow2\ge\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\le1\)

\(\Leftrightarrow x\le1\)

mà x khác 1 và x > 0(theo ĐKXĐ)

=> 0 < x < 1 thì M \(\ge\) 1

Bài 1:

\(M=\dfrac{9}{\sqrt{11}-\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{22}-\sqrt{10}}{\sqrt{11}-\sqrt{5}}-\dfrac{22}{\sqrt{11}}\)

\(=\dfrac{9\left(\sqrt{11}+\sqrt{2}\right)}{11-2}-\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{11}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{11}+\sqrt{5}\right)}{11-5}-\dfrac{2.\left(\sqrt{11}\right)^2}{\sqrt{11}}\)

\(=\sqrt{11}+\sqrt{2}-\sqrt{2}-2\sqrt{11}=-\sqrt{11}\)

\(M=\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2b}{\sqrt{b}}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\dfrac{2\left(\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{b}}\)

\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}-\sqrt{b}+2\sqrt{b}=2\sqrt{a}\)

Kẻ DI _I_ AE.

BH // DI (BH _I_ AE và DI _I_ AE)

B là trung điểm của AD (D đối xứng A qua B)

=> H là trung điểm của AI

=> BH là đường trung bình của \(\Delta ADI\) và AH = HI = IE

\(\Rightarrow DI=2BH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại A:

AH² = BH . CH

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{CH}{AH}\)

mà \(\dfrac{ID}{IE}=\dfrac{2BH}{AH}\) ; \(\dfrac{HE}{HC}=\dfrac{2AH}{HC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ID}{IE}=\dfrac{HE}{HC}\)

=> \(\Delta IDE~\Delta HEC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IED}=\widehat{HCE}\)

\(\Rightarrow\widehat{DEC}=\widehat{IED}+\widehat{HEC}=\widehat{HCE}+\widehat{HEC}=90^0\left(\text{đ}pcm\right)\)

a)

M = 2x² + 9y² - 6xy - 12y + 2018

2M = 4x² + 18y² - 12xy - 24y + 4036

= (4x² - 12xy + 9y²) + (9y² - 24y + 16) + 4020

= (2x - 3y)² + (3y - 4)² + 4020 \(\ge4020\)

=> \(M\ge2010\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\) và \(y=\dfrac{4}{3}\)

b)

xy + 3x - 4y = 0

<=> x(3 + y) - 4(y + 3) = - 12

<=> (y + 3)(x - 4) = - 12

Bạn tự xét từng trường hợp nhé (^~^)

c)

2xy + 3x - 6y = 1

<=> x(2y + 3) - 3(2y + 3) = - 8

<=> (2y + 3)(x - 3) = - 8

Bạn tự xét từng trường hợp nhé (^~^)

x^2x(x^2+4)-(x^2-4)=0<=>x^4+4x^2-x^2+4=0<=>(x^2+2)^2=x^2<=>x^2+2=x hay x^2+2=-x<=>x^2-x+2=0 hay x^2+x+2=0<=> x thuộc rỗng vì x^2-x+2>0 và x^2+x+2>0(bạn tự c/m nha)

Bài 2:

a)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\)

=> a = b = c

b)

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{x}\)

=> x = y = z (theo a)

Thay x = y = z vào biểu thức, ta có:

\(M=\dfrac{x^{333}.x^{666}}{x^{999}}=1\)

c)

\(ac=b^2\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)

\(ab=c^2\Rightarrow\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow a=b=c\)

Thay a = b = c vào biểu thức, ta có:

\(M=\dfrac{a^{333}}{a^{111}.a^{222}}=1\)

ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(M=\sqrt{x-\sqrt{x^2-4x+4}}\)

\(=\sqrt{x+\sqrt{\left(x-2\right)^2}}\)

(+) \(x-2\ge0\Leftrightarrow x\ge2\)

\(M=\sqrt{x+x-2}=\sqrt{2x-2}\)

(+) \(x-2< 0\Leftrightarrow1\le x< 2\)

\(M=\sqrt{x+2-x}=\sqrt{2}\)

M = 5 - x² + 2x - 4y² - 4y

= (- x² + 2x - 1) + (- 4y² - 4y - 1) + 7

= 7 - (x - 1)² - (2y + 1)²\(\le7\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 1 và y = - 0,5

(^~^)

M = - x² + 2xy - 4y² + 2x + 10y - 8

- M = x² - 2xy + 4y² - 2x - 10y + 8

= (y² + 1 + x² + 2y - 2xy - 2x) + (3y^2 - 12y + 12) - 5

\(=\left(y+1-x\right)^2+3\left(y-2\right)^2-5\ge-5\)

\(\Rightarrow M\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi y = 2 và x = 3.