\(A=\dfrac{2x+3}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{\left(x+1\right)^2}-1\ge-1\forall x\ne-1\)

Vậy minA = -1 khi x = - 2.

Xét phương trình \(x^2-mx+1005m=0\) có \(\Delta=m^2-4.1005m=m^2-4020m\)

Do pt có hai nghiệm nên \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge4020\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1.x_2=1005m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{2.1005m+2680}{m^2+1}=\dfrac{2010m+2680}{m^2+1}\)

\(=335\left(\dfrac{\left(m+3\right)^2}{m^2+1}-1\right)\ge-335\)

Vậy minM = -335, khi m = -3.

a) Trên tia đối của tia ND, lấy điểm J sao cho ND = NJ. Gọi giao điểm của JO và DB là H.

Khi đó ADOJ là hình bình hành, suy ra JO // AD.

Vậy thì \(\widehat{DJO}=\widehat{JDA}\left(1\right)\) (so le trong).

Xét tứ giác MDBJ ta thấy nó cũng là hình bình hành nên JB // MD, từ đó \(\widehat{BJO}=\widehat{MDA}\left(2\right)\) (Hai góc có hai cạnh song song)

Xét tam giác vuông ADB : OH // AD ; AO = OB nên DH = HB và \(OH\perp BD,\) vậy thì tam giác DJB cân tại J, hay JO là phân giác. Vậy \(\widehat{DJO}=\widehat{BJO}\left(3\right)\)

Ta thấy ngay tứ giác MFDA nội tiếp nên \(\widehat{MDA}=\widehat{MFA}\left(4\right)\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

Cũng lại có \(\widehat{ADJ}=\widehat{ABC}\left(5\right)\) (Góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

Từ (1); (2); (3); (4) ;(5) suy ra \(\widehat{MFA}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{CAB}\) (Cùng phụ với hai góc trên)

Từ đó ta có : \(\widehat{FAB}+\widehat{BAC}=180^o\Rightarrow\) F, A, C thẳng hàng hay \(FC\perp BE.\)

Ta có A là giao điểm của hai đường cao BM và FC nên A là trực tâm tam giác BEF (đpcm).

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x (m, x > 4)

Khi đó chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(\dfrac{240}{x}\) (m)

Khi tăng chiều rộng 3m, giảm chiều dàu 4m thì diện tích mảnh đất là: \(\left(x-4\right)\left(\dfrac{240}{x}+3\right)\)

Do diện tích không đổi nên ta có phương trình:

\(\left(x-4\right)\left(\dfrac{240}{x}+3\right)=240\)

\(\)\(\Rightarrow240+3x-\dfrac{960}{x}-12=240\)

\(\Rightarrow3x^2-12x-960=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=20\left(n\right)\\x=-16\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài mảnh đất là 20m, chiều rộng mảnh đất là 12m.

a. Với \(m=-\sqrt{2}\), ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=-\sqrt{2}\\4x-2y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=-\sqrt{2}\\2x-y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

b. Với \(m=\sqrt{2}\), ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=\sqrt{2}\\4x-2y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=\sqrt{2}\\2x-y=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

c. Với \(m=1\), ta có hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=1\\4x-y=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-1\\4x-2x+1=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-1\\x=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\sqrt{2}-2\\x=\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2};2\sqrt{2}-2\right).\)

Gọi x, y lần lượt là số ngày mà đội I và đội II cần để một mình hoàn thành xong công việc \(\left(x,y\in N;x,y>12\right)\)

Trong một ngày , cả hai đội làm được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) công việc nên ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (công việc)

Khi làm chung được 8 ngày, cả hai đội đã làm được: \(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}\) (công việc)

Năng suất đội II tăng gấp đôi nên trong 3,5 ngày sau, đội II làm được: \(3,5.\dfrac{2}{y}=\dfrac{7}{y}\) (công việc)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{7}{y}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{14}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{35}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=14\\y=35\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)

Vậy với năng suất ban đầu, nếu làm một mình thì đội I hoàn thành công việc sau 14 ngày, đội II hoàn thành công việc sau 35 ngày.