Bài 3: Ôn tập chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Hai Binh)

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Hai Binh)

Hướng dẫn giải

Giải

Giả sử ta có hình chóp S.ABCD, có các cạnh bên SA = SB = SC = SD = ..., kẻ SH ⊥ (ABCD), ta chứng minh được △SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △... suy ra HA = HB = HC = HD = ... Đáy ABCD...., của hình chóp nội tiếp trong một đường tròn và chân H của đường cao SH là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dễ thấy, mọi điểm nằm trên đường cao SH đều cách đều các đỉnh A, B, C, D của đáy. Trong tam giác SAH chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh SA, đường này cắt SH ở điểm I. Dễ thấy: IS = IA = IB = IC = ID = ... hay điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó I là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.

(Trả lời bởi Hai Binh)

Hướng dẫn giải

Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA.

Ta có: AD = AF $=>\; AB\; =\; AC$

BD = BE$=>$ BC = AB

$=>$ AB = BC = CA

$=>$ \(\Delta ABC\) là tam giác đều (1)

Ta lại có AM = AD; BN = BD = AD

và SM = SN = SP

$=>$ SM + AM = SN + NB

$=>$ SA = SB

Chứng minh tương tự ta có: SA = SB = SC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S, ta có:

\(\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC\) => HA = HB = HC

$=>$ H là tâm của tam giác đều ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.

(Trả lời bởi bảo nam trần)

Hướng dẫn giải

a,+) Từ A vẽ AH _|_ (BCD) (theo giả thiết AB = AC = AD)

Nên \(\Delta ABH=\Delta ACH=\Delta ADH\)

=> HB = HC = HD

Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

+) Ta có: \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}\) với \(BH=\dfrac{2}{3}BM=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{a^2-\dfrac{3a^2}{9}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)

b, Ta có: \(H=AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{3};r=BH=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

Diện tích xung quanh hình trụ là:

\(S_{xq}=2\pi rh=2\pi.\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{2\pi\pi^2\sqrt{2}}{3}\)

Thể tích khối trụ là:

\(V=\pi r^2h=\pi\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}\)

(Trả lời bởi bảo nam trần)

Hướng dẫn giải

Qua O vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABCD)

Khi đó d là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Gọi H là trung điểm của cạnh SA

Trong mặt phẳng (SAO) đường trung trực của đoạn SA cắt đường thẳng SO tại I , ta có: \(\Delta SAO\) đòng dạng \(\Delta SIH\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SO}=\dfrac{SI}{SH}\Leftrightarrow SI=\dfrac{SA.SH}{SO}=\dfrac{SA^2}{2SO}\)

Mà \(SA^2=SO^2+OA^2=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{3a^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Khi đó \(SI=\dfrac{3a^2}{\dfrac{4}{2.\dfrac{a}{2}}}=\dfrac{3a}{4}\)

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}IS=IA\\IA=IB=IC=ID\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow IS=IA=IB=IC=ID=\dfrac{3a}{4}\)

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính \(R=SI=\dfrac{3a}{4}\)

Diện tích mặt cầu là: \(S=4\pi R^2=4\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{4}\)

Thể tích khối cầu là: \(V=\dfrac{4}{3}\pi R^2=\dfrac{4}{3}\pi.\left(\dfrac{3a}{4}\right)^2=\dfrac{9\pi\pi^2}{16}\)

(Trả lời bởi bảo nam trần)

Hướng dẫn giải

a, Diện tích của mặt cầu là: \(S_c=4\pi r^2\)

Diện tích xung quanh của mặt trụ là: \(S_t=2\pi rh=4\pi r^2\)

Vậy S_c = S_t

b, Thể tích của khối trụ là: \(V_t=\pi r^2h=2\pi r^2\)

Thể tích của khối cầu là: \(V_c=\dfrac{4}{3}\pi r^2\)

Vậy \(V_t=\dfrac{3}{2}V_c\)

(Trả lời bởi bảo nam trần)

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Hướng dẫn giải

Ta có : \(\dfrac{KM}{AA'}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KM=\dfrac{2}{3}h\)

Xét tam giác vuông IKM ta có : \(IM^2=IK^2+KM^2=\dfrac{3a^2}{9}+\dfrac{4h^2}{9}=\dfrac{3a^2+4h^2}{9}\)

Vậy :

\(IM=\dfrac{\sqrt{3a^2+4h^2}}{3}\)

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)