Bài 27. Thể tích

Hướng dẫn giải

Thể tích của căn phòng là:

\(V=3.4.5=60\left(m^3\right)\)

Vì mỗi mét khối của phòng cần công suất điều hoà khoảng 200 BTU nên công suất cần thiết cho máy điều hoà của căn phòng bác An là:

60.200 = 12000 BTU

Do đó, bác An cần mua một máy điều hoà có công suất khoảng 12 000 BTU để làm mát cho căn phòng của mình.

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà S.ABCD đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại B có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow OA = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác SAO vuông tại O có

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}}  = \frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}\)

\({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Vậy khối chóp có thể tích \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} }}{6}\)

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

a) Tam giác đều ABC có diện tích \(S = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \)

Tam giác đều A'B'C' có diện tích \(S' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích khối chóp cụt

\(V = \frac{1}{3}.HH'.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right) = \frac{1}{3}.h.\left( {{a^2}\sqrt 3  + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \sqrt {{a^2}\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} } \right) = \frac{{7{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)

b) Vì ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều nên (ABC) // (A'B'C')

Mà \(\left( {A{B_1}{C_1}} \right) \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A{B_1}{C_1}} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\)

Xét tam giác ABC có

B₁,C₁ tương ứng là trung điểm của AB, AC

\( \Rightarrow \) B₁C₁ là đường trung bình của tam giác ABC

\( \Rightarrow \) \({B_1}{C_1} = \frac{{BC}}{2}\) và B₁C₁ // BC mà \(B'C' = \frac{{BC}}{2}\) và BC // B’C’

\( \Rightarrow \) B₁C₁ = B’C’ và B₁C₁ // B’C’ \( \Rightarrow \) C₁C’B’B₁ là hình bình hành

Ta có \(A{B_1} = A'B' = \frac{{AB}}{2},A{B_1}//A'B'\) \( \Rightarrow \) AA’B’B₁ là hình bình hành.

\(A{C_1} = A'C' = \frac{{AC}}{2},A{C_1}//A'C'\) \( \Rightarrow \) AA’C’C₁ là hình bình hành.

Do đó AB₁C₁.A'B'C' là một hình lăng trụ

Thể tích hình lăng trụ \(V = HH'.S' = h.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy lớn là:

\(S_1=60^2=3600\left(cm^2\right)\)

Diện tích đáy nhỏ là;

\(S_2=30^2=900\left(cm^2\right)\)

Chiều cao là:

\(\sqrt{50^2-\dfrac{30^2}{2}}=5\sqrt{82}\left(cm\right)\)

Thể tích là;

\(V=\dfrac{1}{3}\cdot h\cdot\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1\cdot S_2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot5\sqrt{82}\left(900+3600+\sqrt{900\cdot3600}\right)\)

\(\simeq95082\left(cm^3\right)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

Kẻ SG vuông góc (ABC)

S.ABC là khối chóp đều

=>ΔABC đều

=>G là trọng tâm, là trực tâm của ΔABC

Gọi giao của AG với BC là D

=>D là trung điểm của BC

ΔABC đều có AD là trung tuyến

nên \(AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

=>\(AG=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

ΔSAG vuông tại G nên \(SG=\sqrt{SA^2-AG^2}=\sqrt{b^2-\dfrac{1}{3}a^2}\)

\(V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SG=\dfrac{1}{3}\cdot\sqrt{b^2-\dfrac{1}{3}a^2}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\)

\(=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot\sqrt{\dfrac{3b^2-a^2}{3}}\)

Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng a là:

\(V=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot BA\cdot BC\cdot sinABC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot2\cdot sin150=3\left(cm^2\right)\)

\(S_{ABC.A'B'C'}=AA'\cdot S_{ABC}=5\cdot3=15\left(cm^2\right)\)

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)

Hướng dẫn giải

a)

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) mà S.ABCD đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \) O là hình chiếu của S trên (ABCD)

C là hình chiếu của C trên (ABCD)

\( \Rightarrow \) OC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

\( \Rightarrow \) (SC, (ABCD)) = (SC, OC) \( = \widehat {SCO}\)

Mà cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng \({60^0}.\)

\( \Rightarrow \widehat {SCO} = {60^0}\)

Xét tam giác ABC vuông tại B có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {6^2}}  = 6\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow OC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

Xét tam giác SOC vuông tại O có

\(\tan \widehat {SCO} = \frac{{SO}}{{OC}} \Rightarrow SO = 6\sqrt 2 .\tan {60^0} = 6\sqrt 6 \left( {cm} \right)\)

\({S_{ABCD}} = {6^2} = 36\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy khối chóp có thể tích \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.6\sqrt 6 .36 = 72\sqrt 6 \left( {c{m^3}} \right)\)

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

Vì hình chóp A’.ABC có A'A = A'B = A'C và đáy ABC là tam giác đều nên hình chóp A’.ABC đều.

Gọi F là hình chiếu của A’ trên (ABC) nên F là tâm của đáy ABC là tam giác đều do đó F cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AF cắt BC tại D

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Mà F là trọng tâm nên \(AF = \frac{2}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác A’AF vuông tại F có

\(A'F = \sqrt {A'{A^2} - A{F^2}}  = \sqrt {{b^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} \)

Diện tích tam giác đều ABC là \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích khối lăng trụ là \(V = A'F.S = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

a) AB // A’B’ \( \Rightarrow \) AB // (A’B’C’D’), AD // A’D’ \( \Rightarrow \) AD // (A’B’C’D’)

Do đó (ABCD) // (A’B’C’D’).

Chiếc thùng có dạng hình chóp cụt vì khi bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc của tấm tôn vuông, sẽ tạo thành bốn tam giác vuông cân.

Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Cạnh bên của hình chóp cụt bằng \(\sqrt {\frac{9}{4} + \frac{{25}}{4}}  = \frac{{\sqrt {34} }}{2}\left( {dm} \right)\)

c) Xét mặt chứa đường chéo của hình vuông, nó là hình thang cân có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp cụt và được \(h = \sqrt {\frac{{34}}{4} - \frac{{18}}{4}}  = 2\left( {dm} \right)\)

Thể tích cần tìm là V = 42 lít.

(Trả lời bởi Quoc Tran Anh Le)

Hướng dẫn giải

(1): Đúng

(2): Đúng

(3): Đúng

(4): Sai

=>Chọn C

(Trả lời bởi Nguyễn Lê Phước Thịnh)