Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Hướng dẫn giải

a) Theo đề bài ta có: \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,9;P\left( {B|A} \right) = 0,4;P\left( A \right) = 0,75\).

Suy ra: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).

b) Trong hai xác suất P(A) và P(B), nhà tổ chức sự kiện quan tấm đến xác suất bán hết vé hơn.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Theo hoạt động 1 ta có: \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,9;P\left( {B|A} \right) = 0,4;P\left( A \right) = 0,75\), \(P\left( {\overline A } \right) = 0,25\).

Do đó, \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = 0,75.0,4 + 0,9.0,25 = 0,525\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Theo sơ đồ cây trong ví dụ 1, xác suất để thứ Tư, ông An đi làm bằng xe buýt là \(P\left( {\overline B } \right)\)

Có hai nhánh cây đi tới \(\overline B \) là \(OA\overline B \) và \(O\overline A \overline B \)

Do đó, \(P\left( {\overline B } \right) = 0,4.0,7 + 0,6.0,6 = 0,64\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Cây bố có kiểu gene bb”;

       M là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây bố”;

       N là biến cố: “Cây con lấy gene b từ cây mẹ”;

       E là biến cố: “Cây con có kiểu gene bb”.

Theo giả thiết, M và N độc lập nên P(E) = P(M) ∙ P(N).

Tính P(M): Ta áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(M) = P(A) ∙ P(M | A) + P(\(\overline{A}\)¯) ∙ P(M |\(\overline{A}\)¯). (*)

Ta có P(A) = 0,4; P(\(\overline{A}\)¯) = 0,6.

P(M | A) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb. Do đó, P(M | A) = 1.

P(M | \(\overline{A}\)) là xác suất để cây con lấy gene b từ cây bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb. Do đó, P(M | \(\overline{A}\)) = 0,5.

Thay vào (*) ta được: P(M) = 0,4 ∙ 1 + 0,6 ∙ 0,5 = 0,7.

Tương tự tính được P(N) = 0,7.

Vậy P(E) = P(M) ∙ P(N) = 0,7 ∙ 0,7 = 0,49.

Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể các cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60%, thì tỉ lệ cây con có kiểu gene bb là khoảng 49%.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Cây bố có kiểu gen Bb”.

M là biến cố: “Con lấy gene B từ bố”.

N là biến cố: “Con lấy gene B từ mẹ”.

E là biến cố: “Cây con có kiểu gene BB”.

Theo giả thiết, M và N độc lập nên \(P\left( E \right) = P\left( M \right).P\left( N \right)\).

Tính \(P\left( M \right)\): Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( M \right) = P\left( A \right).P\left( {M|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {M|\overline A } \right)\) (*)

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( {\overline A } \right) = 0,4\)

\(P\left( {M|A} \right)\) là xác suất để cây con lấy gen B từ bố với điều kiện cây bố có kiểu gene Bb.

Khi đó, \(P\left( {M|A} \right) = \frac{1}{2}\)

\(P\left( {M|\overline A } \right)\) là xác suất để cây con lấy gen B từ bố với điều kiện cây bố có kiểu gene bb.

Khi đó, \(P\left( {M|\overline A } \right) = 0\)

Thay vào (*) ta có: \(P\left( M \right) = \frac{1}{2}.0,6 = 0,3\)

Tương tự ta tính được: \(P\left( N \right) = 0,3\)

Vậy \(P\left( E \right) = P\left( M \right).P\left( N \right) = 0,3.0,3 = 0,09\).

Từ kết quả trên suy ra trong một quần thể cây đậu Hà Lan, mà ở đó tỉ lệ cây bố và cây mẹ mang kiểu gene bb, Bb tương ứng là 40% và 60% thì tỉ lệ cây con có kiểu gene BB là khoảng 9%.

b) Tỉ lệ cây con có kiểu gene Bb là: \(100\%  - 49\%  - 9\%  = 42\% \)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) \(P\left( {A|B} \right)\) là xác suất để ông M mắc bệnh hiểm nghèo X với điều kiện xét nghiệm kết quả cho dương tính.

\(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất để xét nghiệm kết quả cho dương tính với điều kiện ông M mắc bệnh hiểm nghèo X.

b) 0,95 là \(P\left( {B|A} \right)\). Không phải ông M có xác suất 0,95 mắc bệnh hiểm nghèo X.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Chai rượu đúng là rượu loại I”, B là biến cố: “Ông Tùng xác nhận đây là rượu loại I”. Ta cần tính: \(P\left( {A|B} \right)\).

Theo công thức Bayes, ta cần tính: \(P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right),P\left( {B|A} \right),P\left( {B|\overline A } \right)\)

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,3 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0,7\)

\(P\left( {B|A} \right)\) là xác suất để ông Tùng xác nhận là rượu loại I với điều kiện đây đúng là rượu loại I nên \(P\left( {B|A} \right) = 0,9\)

\(P\left( {B|\overline A } \right)\) là xác suất để ông Tùng xác nhận là rượu loại I với điều kiện đây không phải là rượu loại I. Vì \(P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 0,95\) nên \(P\left( {B|\overline A } \right) = 0,05\).

Thay vào công thức Bayes ta có:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,3.0,9}}{{0,3.0,9 + 0,7.0,05}} \approx 0,8852\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Vì tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo X là 0,2% nên xác suất mắc bệnh hiểm nghèo M của ông X là: \(P\left( A \right) = 0,002\)

b) Theo ví dụ 3, ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{p.0,95}}{{p.0,95 + \left( {1 - p} \right).0,01}}\)

Với \(p = 0,002\) ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{0,002.0,95}}{{0,002.0,95 + \left( {1 - 0,002} \right).0,01}} \approx 0,1599\)

Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất mắc bệnh hiểm nghèo X của ông M là khoảng 0,1599.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Xác suất để máy bay của đối phương xuất hiện ở vị trí Y là: \(1 - 0,55 = 0,45\)

Xác suất để không bắn trúng máy bay đối phương của tên lửa là: \(1 - 0,8 = 0,2\)

Gọi A là biến cố: “Máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí X”

Gọi B là biến cố: “Máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí Y”

Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí X là: \(P\left( A \right) = 0,55\left( {1 - 0,2.0,2} \right) = 0,528\)

Xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ ở vị trí Y là: \(P\left( B \right) = 0,45.0,8 = 0,36\)

Vậy xác suất để bắn trúng máy bay đối phương theo phương án tác chiến là:

\(P\left( A \right) + P\left( B \right) = 0,528 + 0,36 = 0,888\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “Con thỏ nhảy từ chuồng II sang chuồng I là thỏ trắng”.

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{3}{{10}}\). Suy ra, \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{3}{{10}} = \frac{7}{{10}}\)

Gọi B là biến cố: “Con thỏ lấy ra từ chuồng I là thỏ trắng”.

Khi đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{11}}{{16}},P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\)

Áp dúng công thức xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{3}{{10}}.\frac{{11}}{{16}} + \frac{7}{{10}}.\frac{5}{8} = \frac{{103}}{{160}}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)