Nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của vectơ trên trục \(Ox\) và vectơ \(\overrightarrow j \) trên trục \(Oy\) (hình 1)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải+) Vectơ có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục \(Ox\)và cùng chiều với \(Ox\)
+) Vectơ \(\overrightarrow j \) có độ lớn bằng 1 đơn vị, phương song song với trục \(Oy\)và cùng chiều với \(Oy\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ \(\overrightarrow a \)tùy ý. Vẽ \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \)và gọi \({A_1},{A_2}\)lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt \({\overrightarrow {OA} _1} = x\overrightarrow i \), \({\overrightarrow {OA} _2} = y\overrightarrow j \). Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow a \)theo hai vectơ và \(\overrightarrow j \)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiÁp dụng quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} \)
Dựa vào hình vẽ ta thấy \({\overrightarrow {OA} _1} = 3\overrightarrow i \) và \({\overrightarrow {OA} _2} = 2\overrightarrow j \)
Vậy \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{A_2}} = 3\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCho điểm M(x;y) bất kì, xác định \({M_1},{M_2}\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành và trục tung
Dễ thấy \(\overrightarrow {O{M_1}}= x\overrightarrow i ; \, \overrightarrow {O{M_2}} = y \overrightarrow j \)
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \)
Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là (x;y), trùng với tọa độ điểm M.
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm \(D\left( { - 1;4} \right),E\left( {0; - 3} \right),F\left( {5;0} \right)\)
a) Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy
b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {OD} ,\overrightarrow {OE} ,\overrightarrow {OF} \).
c) Vẽ và tìm tọa độ hai vectơ đơn vị và \(\overrightarrow j \)lần lượt trên hai trục tọa độ Ox và Oy
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia)
b) Vì tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OM} \) chính là tọa độ của điểm M (với mọi M) nên ta có:
\(\overrightarrow {OD} = \left( { - 1;4} \right),\overrightarrow {OE} = \left( {0; - 3} \right),\overrightarrow {OF} = \left( {5;0} \right)\)
c)
Từ hình vẽ ta có tọa độ của hai vectơ và \(\overrightarrow j \)là
và \(\overrightarrow j = (0;1)\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một máy bay đang cất cánh với vận tốc 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc \(30^\circ \) (hình 7)
a) Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD
b) Biểu diễn vận tốc \(\overrightarrow v \) theo hai vectơ và \(\overrightarrow j \)
c) Tìm tọa độ của \(\overrightarrow v \)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vận tốc 240 km/h nên \(\left| {\overrightarrow v } \right| = AC = 240\)
Áp dụng các tính chất trong tam giác vuông ta có
\(AB = DC = AC.\cos (\widehat {CAB}) = 240.\cos (30^\circ ) = 120{\sqrt 3 }\)
\(AD = BC = AC.\sin (\widehat {CAB}) = 240.\sin (30^\circ ) = 120\)
b) Xem A là gốc tọa độ nên ta có \(\overrightarrow {AB} = 120\overrightarrow i ,\overrightarrow {AD} = 120{\sqrt 3 }\overrightarrow j ,\overrightarrow v = \overrightarrow {AC} = 120\overrightarrow i + 120{\sqrt 3 }\overrightarrow j \)
c)
Ta có \(\overrightarrow v = 120\overrightarrow i + 120{\sqrt 3 }\overrightarrow j \)
Vậy tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\left( {120;120{\sqrt 3 }} \right)\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1},{b_2}} \right)\) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) theo hai vectơ , \(\overrightarrow j \) như sau
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow a - \overrightarrow b ,k\overrightarrow a \) theo hai vectơ , \(\overrightarrow j \)
b) Tìm \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo tọa độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\vec a + \vec b = \left( {{a_1} + {a_2}\vec j} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}\vec j} \right) = \left( {{a_1} + {b_1}} \right) + \left( {{a_2} + {b_2}} \right)}\\
{\vec a - \vec b = \left( {{a_1} + {a_2}\vec j} \right) - \left( {{b_1} + {b_2}\vec j} \right) = \left( {{a_1} - {b_1}} \right) + \left( {{a_2} - {b_2}} \right)}\\
{k\vec a = k\left( {{a_1} + {a_2}\vec j} \right) = k{a_1} + k{a_2}\vec j}
\end{array}\)b) Ta có
\(\begin{array}{l}
\vec a.\vec b = \left( {{a_1}\overrightarrow i + {a_2}\vec j} \right).\left( {{b_1}\overrightarrow i + {b_2}\vec j} \right)\\
= {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\vec j + {a_2}{b_1}\overrightarrow i \vec j + {a_2}{b_2}{{\vec j}^2}\\
= {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}
\end{array}\)Vì \({\overrightarrow i ^2} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1,{\overrightarrow j ^2} = {\left| {\overrightarrow j } \right|^2} = 1,\overrightarrow i \overrightarrow j = 0\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho hai vectơ \(\overrightarrow m = \left( { - 6;1} \right),\overrightarrow n = \left( {0;2} \right)\)
a) Tìm tọa độ các vectơ \(\overrightarrow m + \overrightarrow n ,\overrightarrow m - \overrightarrow n ,10\overrightarrow m , - 4\overrightarrow n \)
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow m .\overrightarrow n ,\left( {10\overrightarrow m } \right).\left( { - 4\overrightarrow n } \right)\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow m + \overrightarrow n = \left( {\left( { - 6 + 0} \right);1 + 2} \right) = ( - 6;3)\\\overrightarrow m - \overrightarrow n = \left( {\left( { - 6 - 0} \right);\left( {1 - 2} \right)} \right) = \left( { - 6; - 1} \right)\\10\overrightarrow m = (10.( - 6);10.1) = ( - 60;10)\\ - 4\overrightarrow n = (( - 4).0;( - 4).2) = (0; - 8)\end{array}\)
b) Ta có
\(\overrightarrow m .\overrightarrow n = ( - 6).0 + 1.2 = 0 + 2 = 2\)
Ta có \(10\overrightarrow m = ( - 60;10)\) và \( - 4\overrightarrow n = (0; - 8)\) nên \(\left( {10\overrightarrow m } \right).\left( { - 4\overrightarrow n } \right) = ( - 60).0 + 10.( - 8) = 0 - 80 = - 80\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc \(\overrightarrow v = \left( {10; - 8} \right)\) (hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là \(\overrightarrow w = \left( {3,5;0} \right)\). Tìm tọa dộ của vectơ tổng hai vận tốc \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow w \)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\overrightarrow v + \overrightarrow w = (10 + 3,5;( - 8) + 0) = (13,5; - 8)\)
Vậy tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow w \) là \((13,5; - 8)\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)
Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\). Từ biểu thức \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} \), tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) theo tọa độ hai điểm A,B
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có tọa độ vectơ \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OA} \) chính là tọa độ điểm B và A
Nên ta có \(\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B};{y_B}} \right),\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{y_A}} \right)\)
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \left( {{x_B};{y_B}} \right) - \left( {{x_A};{y_A}} \right) = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\)
(Trả lời bởi Hà Quang Minh)