Xét các số phức z thỏa mãn \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=6\sqrt{2}\) . Gọi \(m,M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của \(\left|z-1+i\right|\). Tính \(P=m+M\).
\(\sqrt{13}+\sqrt{73}\).\(\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}\).\(5\sqrt{2}+\sqrt{73}\).\(\dfrac{5\sqrt{2}+\sqrt{73}}{2}\).Hướng dẫn giải:Đặt \(w=x+yi=z-1+i\Rightarrow z+2-i=w+3-2i=\left(x+3\right)+\left(y-2\right)i\) và
\(z-4-7i=w-3-8i=\left(x-3\right)+\left(y-8\right)i\). Suy ra
\(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=\sqrt{\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+\left(8-y\right)^2}\).
Áp dụng bất đẳng thức tam giác \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)ta
suy ra \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|\ge\sqrt{\left(x+3+3-x\right)^2+\left(y-2+8-y\right)^2}=6\sqrt{2}\) (1)
Giả thiết về \(z\) chứng tỏ (1) xảy ra đẳng thức tức là \(\dfrac{x+3}{3-x}=\dfrac{y-2}{8+y}\Leftrightarrow y=x+5\) , do đó
\(\left|z-1+i\right|=\left|w\right|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\left(x+5\right)^2}\)
Chú ý rằng với \(y=x+5\) thì \(\left|z+2-i\right|+\left|z-4-7i\right|=\sqrt{\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+\left(8-y\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(x+3\right)^2+\left(x+3\right)^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+\left(3-x\right)^2}=\left(\left|x+3\right|+\left|3-x\right|\right)\sqrt{2}\) nên giả thiết của bài toán tương đương với \(\left|x+3\right|+\left|x-3\right|=6\Leftrightarrow-3\le x\le3\). Bài toán dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số \(f\left(x\right)=x^2+\left(x+5\right)^2\) với \(x\in\left[-3;3\right]\), Ta có \(f'\left(x\right)=2x+2\left(x+5\right)\). \(f'\left(x\right)\)triệt tiêu tại \(x=-2,5\in\left[-3;3\right]\). So sánh ba giá trị \(f\left(-3\right),f\left(-2,5\right),f\left(3\right)\) suy ra giá trị nhỏ nhất là \(f\left(-2,5\right)=\dfrac{25}{2}\), giá trị lớn nhất là \(f\left(3\right)=73\). Vì vậy \(M=\sqrt{73},m=\dfrac{5\sqrt{2}}{2},m+M=\dfrac{5\sqrt{2}+2\sqrt{73}}{2}\)
