Tích phân \(\int^2_0\dfrac{5x+7}{x^2+3x+2}\text{d}x\) bằng
\(2\ln2+3\ln3\). \(3\ln2-2\ln3\). \(3\ln2+2\ln3\). \(\ln2-2\ln3\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Bấm máy tính \(\int^2_0\dfrac{5x+7}{x^2+3x+2}\text{d}x\) và lưu kết quả vào biến A. Nhập biểu thức \(\text{A}-\left(2\ln2+3\ln3\right)\) và tính giá trị biểu thức này, kết quả khác \(0.\) Chuyển con trỏ để sửa biểu thức trên thành \(\text{A}-\left(3\ln2-2\ln3\right)\) bấm máy được kết quả khác \(0.\) Tiếp tục làm như vậy với các đáp số còn lại cho tới khi được kết quả bằng \(0\) hoặc xấp xỉ \(0\) thì đáp số tương ứng là đúng. Đáp số: \(3\ln2+2\ln3\).
Cách 2 (biến đổi tích phân): Ta có \(\dfrac{5x+7}{x^2+3x+2}=\dfrac{5x+7}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{m}{x+1}+\dfrac{n}{x+2}\Leftrightarrow\) \(m\left(x+2\right)+n\left(x+1\right)=5x+7\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=3\end{matrix}\right.\) , do đó \(\dfrac{5x+7}{x^2+3x+2}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x+2}\), từ đó \(\int\dfrac{5x+7}{x^2+3x+2}\text{d}x=2\int\dfrac{\text{d}\left(x+1\right)}{x+1}+3\int\dfrac{\text{d}\left(x+2\right)}{x+2}=2\ln\left|x+1\right|+3\ln\left|x+2\right|+C\) nên
\(\int^2_0\dfrac{5x+7}{x^2+3x+2}\text{d}x=2\ln\left|x+1\right||^2_0+3\ln\left|x+2\right||^2_0=2\ln3+3\ln\dfrac{4}{2}=2\ln3+3\ln2\).