Hình phẳng H có diện tích S gấp 30 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y^2=2x,x-2y+2=0,y=0\). Giá trị của S bằng
\(20\). \(30\). \(40\). \(50\). Hướng dẫn giải:Hai đường \(y^2=2x,x-2y+2=0\) có thể viết lại như sau: (Chú ý bậc của x là 1 và bậc của y là 2 nên ta coi chúng là hàm số biến số là y).
\(x=\dfrac{y^2}{2}\)
\(x=2y-2\)
Hai đường này cắt nhau tại điểm có tung độ thỏa mãn:
\(\dfrac{y^2}{2}=2y-2\)
\(\Leftrightarrow y^2-4y+4=0\Leftrightarrow y=2\)
Vậy giao của các đường \(x=\dfrac{y^2}{2},x=2y-2,y=0\) và \(y=2\) là:
\(S_1=\int\limits^2_0\left|\dfrac{y^2}{2}-\left(2y-2\right)\right|\text{dy}=\dfrac{1}{2}\int\limits^2_0\left|y^2-4y+4\right|\text{dy}\)
\(=\dfrac{1}{2}\int\limits^2_0\left|\left(y-2\right)^2\right|\text{dy}=\dfrac{1}{2}\int\limits^2_0\left(y-2\right)^2d\left(y-2\right)=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}\left(y-2\right)^3|^2_0=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}\)
Suy ra \(S=30.S_1=30.\dfrac{4}{3}=40\).