Gọi \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của phương trình \(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+1=0\) (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của tham số m để biểu thức \(P=\dfrac{x_1.x_2}{x_1+x_2}\) có giá trị nguyên.
\(m=-2\).\(m=-1\).\(m=1\).\(m=2\).Hướng dẫn giải:Ta có \(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+1\right)=4m-3\)
Để phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow m\ge\dfrac{3}{4}\)
Theo định lí Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=m^2+1\\x_1+x_2=2m+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\dfrac{m^2+1}{2m+1}=\dfrac{2m-1}{4}+\dfrac{5}{4\left(2m+1\right)}\)
\(\Rightarrow4P=2m-1+\dfrac{5}{2m+1}\)
Để P nguyên thì \(2m+1\in U\left(5\right)\)
Với \(m\ge\dfrac{3}{4}\) ta được giá trị m = 2.