Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=x\) và \(y=\sqrt{x}\) bằng
\(\dfrac{1}{6}\). \(\dfrac{1}{3}\). \(\dfrac{1}{5}\). \(\dfrac{1}{7}\). Hướng dẫn giải:
Trước hết tìm giao của hai đồ thị.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:
\(x=\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2=x\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2-x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là:
\(S=\int\limits^1_0\left|x-\sqrt{x}\right|\text{dx}=\left|\int\limits^1_0\left(x-x^{\dfrac{1}{2}}\right)\text{dx}\right|\)
chú ý \(x-\sqrt{x}\) không đổi dấu trên đoạn [0;1] (vì nếu chúng đổi dấu thì sẽ có thêm 1 giao điểm chung nữa trên đoạn [0;1]) nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân.
\(S=\left|\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2}{3}x^{\dfrac{3}{2}}\right)\bigg|^1_0\right|=\left|\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{1}{6}\).