Đặt \(I=\int\limits^2_1\frac{x}{1+\sqrt{x-1}}dx\) và \(t=1+\sqrt{x-1}\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(x\text{d}x=\left(t^2-2t+2\right)\left(2t-2\right)\text{dt}\). \(I=\dfrac{11}{3}+4\ln2\). \(I=\int\limits^2_1\left(2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\right)\text{d}t\). \(I=\left(\dfrac{2}{3}t^3-3t^2+8t-4\ln\left|t\right|\right)|^2_1\). Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Bấm máy tính \(\int\limits^2_1\frac{x}{1+\sqrt{x-1}}\text{d}x-\left(\frac{11}{3}+4\ln2\right)\) được kết quả suy ra \(I=\dfrac{11}{3}+4\ln2\) sai.
Cách 2: Đặt \(t=1+\sqrt{x-1}\) thì \(x=\left(t-1\right)^2+1=t^2-2t+2\) và \(dx=\left(2t-2\right)\text{dt}\)
Suy ra \(x\text{d}x=\left(t^2-2t+2\right)\left(2t-2\right)\text{dt}\)
Khi đó: \(I=\int\limits^2_1\left(2t^2-6t+8-\dfrac{4}{t}\right)\text{dt}\)
\(=\left(\dfrac{2}{3}t^3-3t^2+8t-4ln\left|t\right|\right)|^2_1\)
\(=\dfrac{11}{3}-4\ln2\)
Khẳng định sai là \(I=\dfrac{11}{3}+4\ln2\).