Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=90^0,\widehat{B}=60^0,AB=a\). Trong các mệnh đề sau có mấy mệnh đề sai?
(I) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\)
(II) \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=2a^2\)
(III) \(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=-3a^2\)
(IV) \(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-3a^2\)
1.2.3.4.Hướng dẫn giải:Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết suy ra ABC là nửa tam giác đều, do đó \(AB=a,BC=2a.AC=a\sqrt{3},\widehat{A}=90^0,\widehat{B}=60^0,\widehat{C}=30^0\).
Áp dụng định nghĩa tích vô hướng ta được
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos A=a.a\sqrt{3}.\cos90^0=0\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a\sqrt{3}.2a.\cos150^0=2a^2\sqrt{3}.\dfrac{-\sqrt{3}}{2}=-3a^2\)
\(\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB.\cos\widehat{C}=a\sqrt{3}.2a.\cos30^0=3a^2\)
