Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân với \(AB=AC=a\), \(\widehat{BAC}=120^0\), mặt phẳng (𝐴𝐵'𝐶') tạo với đáy một góc \(60^0\).Tính thể tích 𝑉 của khối lăng trụ đã cho.
\(\dfrac{3a^3}{8}\).\(\dfrac{3a^3}{4}\).\(\dfrac{9a^3}{8}\).\(\dfrac{a^3}{8}\).Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm B'C' . Từ giả thiết đáy lăng trụ là tam giác cân suy ra A'M là đường cao tam giác A'B'C'. Vì A'B'=A'C' nên AB'=AC', suy ra AM cũng là đường cao tam giác AB'C', do đó góc \(\widehat{AMA'}\)là góc giữa mp(AB'C') với đáy (A'B'C'), tức là bằng \(60^0\) theo giả thiết.
Mặt khác, từ giả thiết \(ABC\) là tam giác cân với 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑎, \(\widehat{BAC}=120^0\), suy ra A'B'C' cũng vậy, từ đó \(\widehat{C'A'M}=60^0\) nên \(A'M=\dfrac{1}{2}A'C'=\dfrac{a}{2}.\) Mà \(A'A=A'M\tan60^0=\dfrac{a}{2}\sqrt{3}.\) Lăng trụ có diện tích đáy bằng \(\dfrac{1}{2}a.a.\sin120^0=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}\) và có thể tích bằng \(\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3}{8}.\)