Cho các số phức \(z\) thoả mãn \(\left|z\right|=4\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(w=\left(3+4i\right)z+i\) là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là
\(r=4\).\(r=5\).\(r=20\).\(r=22\).Hướng dẫn giải:Giả sử \(w=x+yi,\left(x,y\in\mathbb{R}\right)\). Khi đó:
\(z=\frac{w-i}{3+4i}=\frac{x+\left(y-1\right)i}{3+4i}=\frac{\left[x+\left(y-1\right)i\right]\left(3-4i\right)}{3^2-\left(4i\right)^2}\)
\(=\frac{3x-4\left(y-1\right)i^2+\left[3\left(y-1\right)-4x\right]i}{9+16}\)
\(=\frac{3x+4\left(y-1\right)+\left[3\left(y-1\right)-4x\right]i}{25}=\frac{3x+4\left(y-1\right)}{25}+\frac{3\left(y-1\right)-4x}{25}i\)
Vì \(\left|z\right|=4\) nên ta có:
\(\left(\frac{3x+4\left(y-1\right)}{25}\right)^2+\left(\frac{3\left(y-1\right)-4x}{25}\right)^2=16\)
\(\Leftrightarrow9x^2+16\left(y-1\right)^2+12x\left(y-1\right)+9\left(y-1\right)^2+16x^2-12x\left(y-1\right)=16.25^2\)
\(\Leftrightarrow25x^2+25\left(y-1\right)^2=16.25^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2=16.25=400\) (1)
Các điểm biểu diễn \(M\left(x;y\right)\) của số phức \(w=x+yi\) có tọa độ thỏa mãn (1) nên nằm trên đường tròn bán kính 20.