Cho \(\alpha\in\mathbb{R}\). Hàm số nào trong các hàm số dưới đây không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x\)?
\(F\left(x\right)=\sin x\). \(F\left(x\right)=2\cos\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\). \(F\left(x\right)=2\sin\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\). \(F\left(x\right)=2\sin\left(\dfrac{x}{2}+\alpha\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}-\alpha\right)\). Hướng dẫn giải:Áp dụng công thức biến tích thành tổng ta có
\(2\sin\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}=\sin\alpha+\sin x\); \(2\sin\left(\dfrac{x}{2}+\alpha\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}-\alpha\right)=\sin2\alpha+\sin x\). Do đó hai hàm số này cùng với hàm số \(\sin x\) cùng có đạo hàm bằng \(\cos x\); nói cách khác các hàm số này cùng là nguyên hàm của \(f\left(x\right)=\cos x\). Hàm số còn lại \(F\left(x\right)=2\cos\dfrac{x+\alpha}{2}\cos\dfrac{x-\alpha}{2}\) không phải là nguyên hàm của \(f\left(x\right)=\cos x\).