Tính nguyên hàm - tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Học ngoại ngữ trực tuyến

1. Phương pháp đổi biến dạng 1.

Bài toán. Tính tích phân 

\(I=\int\limits^b_af\left(x\right)dx\)

Phương pháp.

• Đặt \(x=\varphi\left(t\right)\Rightarrow dx=\varphi'\left(t\right)dt\)

• Đổi cận: x = a ⇒ t = α; x = b ⇒ t = β (trong đó ϕ(α) = a, ϕ(β) = b).

• Khi đó \(I=\int\limits f^{\beta}_{\alpha}\left(\varphi\left(t\right)\right)\varphi'\left(t\right)dt\)

Các trường hợp cần lưu ý khi đổi biến:

\(a^2+x^2:x=\left|a\right|\tan x,t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)

• \(\sqrt{a^2-x^2}:x=\left|a\right|\sin t,t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)

• \(\sqrt{x^2-a^2}:x=\frac{\left|a\right|}{\sin t},t\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\)\\(\left\{0\right\}\)

2. Phương pháp đổi biến dạng 2.

Bài toán. Tính tích phân 

\(I=\int\limits^b_af\left[u\left(x\right)\right]u'\left(x\right)dx\)

Phương pháp.

• Đặt \(u=u\left(x\right)\Rightarrow du=u'\left(x\right)dx\)

• Đổi cận: \(x=a\Rightarrow u=u\left(a\right);x=b\Rightarrow u=u\left(b\right)\)\(I=\int\limits^b_af\left(u\right)du\)

• Khi đó 

Lưu ý. \(u\left(x\right)\) thường nằm trong dấu lũy thừa, lượng giác, trên số mũ, dưới mẫu hay cả dấu căn, dấu lôgarit

Công thức đổi biến số: 

\(t=\varphi(x)\Rightarrow dt=\varphi'(x)dx\Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\int f[\varphi(x)].\varphi'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F(\varphi(x))+C\\ \displaystyle\int\limits_a^b f[\varphi(x)].\varphi'(x)dx=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi (b)}f(t)dt \end{cases}\)

Dạng 1: Tính nguyên hàm-tích phân của biểu thức chứa căn. 

Đặt \(t=\sqrt{f(x)}\Rightarrow t^2=f(x)dx\Rightarrow 2tdt=f'(x)dx\)
Ví dụ 1: (Đa Phúc-Hà Nội 2015 L2) 

Tính tích phân \(I=\displaystyle\int x\sqrt{1+3x}dx\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^1 x\sqrt{1+3x}dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{2}{45}\sqrt{(1+3x)^5}-\dfrac{2}{27}\sqrt{(1+3x)^3}+C, J=\dfrac{116}{135}\)

Ví dụ 2: (Chuyên Lê Hồng Phong-TP HCM 2015 L2)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(\sqrt{1+3x^2}+e^x\right)xdx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(\sqrt{1+3x^2}+e^x\right)xdx\).
ĐS: \(I=\dfrac{\sqrt{(1+3x^2)^3}}{9}+xe^x-e^x+C, J=\dfrac{16}{9}\)

Ví dụ 3: (Tĩnh Gia-Thanh Hóa 2015) 

Tính nguyên hàm \(I=\displaystyle\int \dfrac{3xdx}{x+\sqrt{x^2+4}}\).
ĐS: \(I=\dfrac{1}{4}\sqrt{(x^2+4)^3}-\dfrac{x^3}{4}+C\)
Dạng 2: Tính nguyên hàm-tích phân biểu thức hàm lũy thừa. Đặt \(t=x^\alpha\Rightarrow dt=\alpha x^{\alpha-1}dx\)
Ví dụ 4: (Đại học Khối B-2012)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx\) và \(\displaystyle I=\int\limits_0^1 \dfrac{x^3}{x^4+3x^2+2}dx\).
ĐS: \(I=\ln|x^2+2|-\dfrac{1}{2}\ln |x^2+1|+C,J=\ln 3-\dfrac{3}{2}\ln 2\)

Ví dụ 5: (Hồng Quang-Hải Dương 2015 L2)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(x.e^x+\dfrac{x^4}{x^5+1}\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_0^1 \left(x.e^x+\dfrac{x^4}{x^5+1}\right)dx\).

 ĐS: \(I=(x-1)e^x+\dfrac{1}{5}\ln |x^5+1|+C, J=1+\dfrac{\ln 2}{5}\)
Dạng 3: Tính nguyên hàm - tích phân biểu thức chứa hàm mũ. Đặt \(t=e^x\Rightarrow dt=e^xdx\Rightarrow dx=\dfrac{dt}{t}\)

Ví dụ 6:  (Gia Viễn A-Ninh Bình 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int e^x\sqrt{5-e^x}dx\) và \(\displaystyle J=\int_2^7e^x\sqrt{5-e^x}dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{2\sqrt{(5-e^x)^3}}{3}+C,J=\dfrac{16}{3}-2\sqrt{3}\)

Ví dụ 7: (Chuyên Bến Tre 2015 L2) 

Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^1 \dfrac{e^xdx}{e^x+e^{-2x}}\).

ĐS: \(I=\dfrac{1}{2}\ln \left(e^{2x}+1\right)+C,J=\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{e^2+1}{2}\)
Dạng 4: Tính nguyên hàm - tích phân biểu thức chứa logarit. Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{x}dx\)

Ví dụ 8: (Cù Huy Cận-Hà Tĩnh 2015)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int\left(x^2+\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e\left(x^2+\dfrac{\ln^2 x}{x}\right)dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{\ln^3 x}{3}+C,J=\dfrac{e^3}{3}\)
Ví dụ 9: (Bảo Thắng 2-Lào Cai 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \dfrac{\ln^2 x}{x(1+2\ln x)}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_1^e \dfrac{\ln^2 x}{x(1+2\ln x)}dx\).
ĐS: \(I=\dfrac{1}{4}\ln^2 |x|-\dfrac{1}{4}\ln |x|+\dfrac{1}{8}\ln |1+2\ln x|+C, J=\dfrac{1}{8}\ln 3\)

 

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Công thức lượng giác:

  1. \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)
  2. \(\sin 2x=2\sin x.\cos x\)
  3. \(\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x\)
  4. \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
  5. \(1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, 1+\cot^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}\)

Dạng 5: Đặt \(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx, t=\cos x\Rightarrow dt=-\sin xdx\)
Ví dụ 10: (Nguyễn Văn Trỗi-Hà Tĩnh 2015)

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \sin 2x.\cos^2 xdx\) và \(J=\int\limits_0^{\pi}\sin 2x.\cos^2 xdx\).
ĐS: \(I=-\dfrac{\cos^4 x}{2}+C,J=0\)
Ví dụ 11: (
Sở GD Thanh Hóa 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int \left(x+\cos^2 x\right)\sin xdx\)và \(\displaystyle J=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left(x+\cos^2 x\right)\sin xdx\).

ĐS: \(I=(1-x)\cos x-\dfrac{\cos^3 x}{3}+C,J=\dfrac{4}{3}\)

Ví dụ 12: (Đại học Khối B 2003

Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{1-2\sin^2 x}{1+\sin 2x}\) và \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1-2\sin^2 x}{1+\sin 2x}\).

Dạng 6: Đặt \(t=\tan x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{\cos^2 x}dx, t=\cot x\Rightarrow dt=-\dfrac{1}{\sin^2 x}dx\)
Ví dụ 13: Tính tích phân \(I=\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sin x.\cos^3 x}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{dx}{\sin x.\cos^3 x}\).
ĐS: \(I=\ln|\tan x|+\dfrac{1}{2}\tan^2 x+C,J=\ln 3+\dfrac{4}{3}\)

Ví dụ 14: (Nguyễn Huệ-Quảng Nam 2015) 

Tính tích phân \(\displaystyle I=\int\dfrac{\cot x}{\cos 2x}dx\) và \(\displaystyle J=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cot x}{\cos 2x}dx\).

 ĐS: \(I=\dfrac{1}{2}\ln |\cot x-1|+\dfrac{1}{2}\ln |\cot x+1|+C,J=\dfrac{\ln 2}{2}\)
Dạng 7: Đặt \(t=\sin x\pm \cos x\Rightarrow dt=(\cos x\mp \sin x)dx\)

Ví dụ 15 (Đại học Khối B-2008) Tính tích phân

\(I=\displaystyle\int \dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)dx}{\sin 2x+2(1+\sin x+\cos x)}\) và \(J=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)dx}{\sin 2x+2(1+\sin x+\cos x)}\).
ĐS: \(I=\dfrac{1}{\sqrt{2}(\sin x+\cos x+1)}+C,J=\dfrac{4-3\sqrt{2}}{4}\)

TÀI LIỆU ĐỌC THÊM

Tính tích phân, nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Các bài toán tích phân có nhiều cách giải

Các khóa học nổi bật: Xem tại đây!

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Loading...
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...