Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácMột số chú ý và công thức:
+) Tổng số sản phẩm = Số sản phẩm làm được trong 1 đơn vị thời gian \(\times\) Thời gian.
+) Năng suất tăng (giảm) \(x\%\) có nghĩa là số sản phẩm mới bằng \(\left(100\pm x\right)\%\) số sản phẩm ban đầu.
Ví dụ: Có hai tổ sản xuất. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10%. Vì thế hai tổ sản xuất được 1010 sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất tổ I sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Phân tích: Hai đại lượng chưa biết chính là số sản phẩm từng tổ sản xuất được trong tháng thứ nhất. Do đó, chúng phải là các số nguyên dương và không vượt quá 900.
Lời giải:
Gọi số sản phẩm tổ I và tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất lần lượt là \(x\) và \(y\) (sản phẩm) (\(0< x,y< 900;x,y\in N\)).
Theo giả thiết ta có: \(x+y=900\).
Số sản phẩm tổ I sản xuất được trong tháng thứ hai là: \(\left(100+15\right)\%x=1,15x\) (sản phẩm).
Số sản phẩm tổ II sản xuất được trong tháng thứ hai là: \(\left(100+10\right)\%y=1,1y\) (sản phẩm).
Theo đề bài ta có: \(1,15x+1,1y=1010\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=900\\1,15x+1,1y=1010\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1,1x+1,1y=990\\1,15x+1,1y=1010\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0,04x=20\\y=900-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=500\\y=400\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn).
Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 500 sản phẩm.
Thường áp dụng các công thức tính chu vi, diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông, ...
Ví dụ: Một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm \(100m^2\). Nếu giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi \(68m^2\). Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
Phân tích: Hai đại lượng chưa biết là chiều dài và chiều rộng ban đầu của thửa ruộng. Đây phải là các số dương.
Lời giải:
Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của thửa ruộng theo thứ tự là \(x\) (m) và \(y\) (m) \(\left(x>y>0\right)\).
Diện tích ban đầu của thửa ruộng là \(xy\left(m^2\right)\).
Khi tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích mới là: \(\left(x+2\right)\left(y+3\right)\left(m^2\right)\).
Theo giả thiết ta có: \(\left(x+2\right)\left(y+3\right)=xy+100\).
Khi giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích mới là: \(\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(m^2\right)\).
Theo giả thiết ta có: \(\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-68\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)\left(y+3\right)=xy+100\\\left(x-2\right)\left(y-2\right)=xy-68\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy+3x+2y+6=xy+100\\xy-2x-2y+4=xy-68\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=94\\-2x-2y=-72\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\\y=-\dfrac{3}{2}x+47\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=22\\y=14\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn).
Vậy diện tích ban đầu của thửa ruộng là: \(22.14=308\left(m^2\right)\).
Một số chú ý và công thức:
+) Toàn bộ công việc = Phần việc làm được trong 1 đơn vị thời gian \(\times\) Thời gian.
+) Ta coi toàn bộ công việc = 1.
+) Nếu một công việc làm xong trong \(x\) đơn vị thời gian thì phần công việc làm được trong mỗi đơn vị thời gian là \(\dfrac{1}{x}\).
Ví dụ 1: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày sẽ xong đoạn đường?
Lời giải:
Gọi thời gian để mỗi đội A và B làm một mình để hoàn thành công việc lần lượt là \(x\) và \(y\) (ngày) (\(x,y>24\)).
\(\Rightarrow\) Mỗi ngày đội A làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc, mỗi ngày đội B làm được \(\dfrac{1}{y}\) công việc.
Theo giả thiết ta có: \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}.1,5\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{y}\).
Hai đội hoàn thành công việc trong 24 ngày \(\Rightarrow\) Mỗi ngày hai đội làm chung được \(\dfrac{1}{24}\) công việc
\(\Rightarrow\) Ta có phương trình: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{y}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{24}\end{matrix}\right.\).
Đặt \(a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y}\left(a,b>0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}b\\a+b=\dfrac{1}{24}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}b\\\dfrac{3}{2}b+b=\dfrac{1}{24}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}b\\b=\dfrac{1}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{40}\\b=\dfrac{1}{60}\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{40}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=40\\y=60\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn).
Vậy đội A làm một mình 40 ngày, đội B làm một mình 60 ngày thì xong công việc.
Ví dụ 2: Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I chảy trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi II chảy trong 20 phút thì sẽ được \(\dfrac{1}{5}\) bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Lời giải:
Đổi: 1 giờ 30 phút = \(\dfrac{3}{2}\) giờ; 15 phút = \(\dfrac{1}{4}\) giờ; 20 phút = \(\dfrac{1}{3}\) giờ.
Gọi thời gian để vòi I chảy riêng đến khi đầy bể là \(x\)(giờ), thời gian để vòi II chảy riêng đến khi đầy bể là \(y\)(giờ) (\(x,y>0\)).
\(\Rightarrow\) Mỗi giờ vòi I chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể, vòi II chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể.
Hai vòi cùng mở thì sau \(\dfrac{3}{2}\) giờ sẽ đầy bể \(\Rightarrow\) Mỗi giờ cả hai vòi chảy được \(\dfrac{2}{3}\) bể
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{3}\).
Vòi I chảy riêng \(\dfrac{1}{4}\) giờ thì được \(\dfrac{1}{4x}\) bể; vòi II chảy riêng trong \(\dfrac{1}{3}\) giờ thì được \(\dfrac{1}{3y}\) bể
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{3y}=\dfrac{1}{5}\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{1}{4x}+\dfrac{1}{3y}=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y}\left(a,b>0\right)\), ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{2}{3}\\\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{3}=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{2}{3}-a\\\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}-a\right)=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{2}{3}-a\\-\dfrac{1}{12}a=-\dfrac{1}{45}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{4}{15}\\b=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{4}{15}\\\dfrac{1}{y}=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3,75\\y=2,5\end{matrix}\right.\) (Thỏa mãn)
Vậy vòi I chảy riêng trong 3,75 giờ = 3 giờ 45 phút thì đầy bể; vòi II chảy riêng trong 2,5 giờ = 2 giờ 30 phút thì đầy bể.