Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác

Định nghĩa: 

Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng (hay đoạn thẳng) nối từ một đỉnh của tam giác đến trung điểm của cạnh đối diện.

Xét trong tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm \(BC\):

Đoạn thẳng \(AM\) nối đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) với trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\) gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh \(A\) hoặc ứng với cạnh \(BC\)) của tam giác \(ABC\). 

Đôi khi, đường thẳng \(AM\) cũng được gọi là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Tương tự:

    +) Đoạn thẳng nối đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\) với trung điểm \(N\) của cạnh \(AC\) cũng là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\);

    +) Đoạn thẳng nối đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) với trung điểm \(P\) của cạnh \(AB\) cũng là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Nhận xét: Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Ví dụ: Tam giác \(DEF\) có \(H,I,K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(DE,EF,DF\).

    Khi đó, các đoạn thẳng (hay đường thẳng) \(DI,EK,FH\) là 3 đường trung tuyến của tam giác \(DEF\).

Trong đó: \(DI\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(D\) hay ứng với cạnh \(EF\);

                \(EK\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(E\) hay ứng với cạnh \(DF\);

                \(FH\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(F\) hay ứng với cạnh \(DE\).

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lí:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Cụ thể: Trong tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(AD,BE,CF\) cùng đi qua điểm \(G\) (hay còn gọi là đồng quy tại điểm \(G\)):

  Khi đó ta có: \(\dfrac{GA}{DA}=\dfrac{GB}{EB}=\dfrac{GC}{FC}=\dfrac{2}{3}\).

 Điểm \(G\) gọi là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Chú ý: 

+) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(M\) là trung điểm của cạnh huyền \(BC\) (hình vẽ)

           Khi đó ta có: \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)

+) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên thì bằng nhau.

+) Tam giác đều có 3 đường trung tuyến bằng nhau.

Ví dụ 1: Tam giác \(ABC\) độ dài trung tuyến \(AM\) là \(13,5cm\), \(G\) là trọng tâm tam giác. Tính độ dài đoạn thẳng \(AG\).

Giải:

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên theo tính chất trung tuyến ta có: \(AG=\dfrac{2}{3}AM\)

\(\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}.13,5=9\left(cm\right)\)

Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC\) có 2 đường trung tuyến \(BD,CE\) vuông góc với nhau. Biết \(BD=4,5cm;CE=6cm\). Tính độ dài cạnh \(BC\).

Giải:

Gọi \(G\) là giao điểm của 2 trung tuyến \(BD,CE\) thì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Theo tính chất trung tuyến của tam giác, ta có: 

                     \(BG=\dfrac{2}{3}BD=\dfrac{2}{3}.4,5=3\left(cm\right)\)

                     \(CG=\dfrac{2}{3}CE=\dfrac{2}{3}.6=4\left(cm\right)\)

Mặt khác: Do \(BD\perp CE\) tại \(G\) nên \(\Delta GBC\) vuông tại \(G\)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: \(GB^2+GC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{GB^2+GC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

Vậy độ dài cạnh \(BC\) là \(5cm\).