Bài 3. Phép cộng và phép trừ hai số nguyên

1. Cộng hai số nguyên cùng dấu

• Muốn cộng hai số nguyên dương, ta cộng chúng như cộng hai số tự nhiên.
• Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai số đối của chúng rồi thêm dấu trừ đằng trước kết quả.
• Tổng của hai số nguyên cùng dấu luôn cùng dấu với hai số nguyên đó.

Chú ý: Cho a, b là hai số nguyên dương, ta có: 

(+ a) + (+ b) = a + b

(- a) + (- b) = - (a + b)

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) 8 + 9;

b) (- 8) + (- 9);

c) (- 25) + (- 55);

d) 71 + 30.

Giải:

a) 8 + 9 = 17.

b) (- 8) + (- 9) = - (8 + 9) = - 17.

c) (- 25) + (- 55) = - (25 + 55) = - 80.

d) 71 + 30 = 101.

Ví dụ 2. Hôm qua dì Lan vay của dì Hoa 100 000 đồng, hôm nay dì Lan lại tiếp tục vay của dì Hoa 250 000 đồng nữa. Dùng số nguyên để biểu diễn tổng số tiền vay của dì Lan.

Giải:

Số tiền vay của dì Lan ngày hôm qua là - 100 000 (đồng).

Số tiền vay của dì Lan hôm nay là - 250 000 (đồng).

Tổng số tiền vay của dì Lan là:

(- 100 000) + (- 250 000) = - (100 000 + 250 000) = - 350 000 (đồng).

2. Cộng hai số nguyên khác dấu

Cộng hai số đối nhau

Tổng hai số nguyên đối nhau luôn luôn bằng 0: a + (- a) = 0.

Ví dụ 1. Tính:

a) (- 15) + 15;

b) 21 + (- 21).

Giải:

a) Vì - 15 và 15 là hai số đối nhau nên (- 15) + 15 = 0.

b) Vì 21 và - 21 là hai số đối nhau nên 21 + (- 21) = 0.

Cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau

Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta làm như sau:

• Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta lấy số dương trừ đi số đối của số âm.
• Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta lấy số đối của số âm trừ đi số dương rồi thêm dấu trừ trước kết quả.

Chú ý:

Khi cộng hai số nguyên trái dấu:

• Nếu số dương lớn hơn số đối của số âm thì ta có tổng dương.
• Nếu số dương bằng số đối của số âm thì ta có tổng bằng 0.
• Nếu số dương bé hơn số đối của số âm thì ta có tổng âm.

Ví dụ 2. Tính:

a) (- 122) + 92;

b) 49 + (- 49);

c) (- 26) + 51.

Giải:

a) (- 122) + 92 = - (122 - 92) = - 30 (vì 122 > 92);

b) 49 + (- 49) = 0;

c) (- 26) + 51 = 51 - 26 = 25 (vì 51 > 26).

Ví dụ 3. Một tòa nhà có 10 tầng được đánh số theo thứ tự là 0 (tầng mặt đất), 1, 2, 3, ... 9 và ba tầng hầm được đánh số là - 1, - 2, - 3. Dùng phép cộng các số nguyên để diễn tả các tình huống sau:

a) Thang máy đang ở tầng - 2, nó đi lên 6 tầng. Hỏi thang máy dừng lại tại tầng mấy?

b) Thang máy đang ở tầng 3, nó đi xuống 5 tầng. Hỏi thang máy dừng lại tại tầng mấy?

Giải:

a) Ta có (- 2) + 6 = 4.

Vậy khi đang ở tầng - 2 sau đó đi lên 6 tầng thì thang máy dừng lại tầng 4.

b)Ta có 3 + (- 5) = - 2.

Vậy khi đang ở tầng 3 sau đó đi xuống 5 tầng thì thang máy dừng lại tại tầng hầm 2.

3. Tính chất của phép cộng các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

Phép cộng các số nguyên có tính chất giao hoán, nghĩa là: 

a + b = b + a

Chú ý: a + 0 = 0 + a = a.

Chẳng hạn, (- 18) + 32 = 32 + (- 18) = 14.

b) Tính chất kết hợp

Phép cộng các số nguyên có tính chất kết hợp:

(a + b) + c = a + (b + c)

Chú ý:

• Tổng (a + b) + c hoặc a + (b + c) là tổng của ba số nguyên a, b, c và viết là a + b + c; a, b, c là các số hạng của tổng.
• Để tính tổng của nhiều số, ta có thể thay đổi tùy ý thứ tự các số hạng (tính giao hoán), hoặc nhóm tùy ý các số hạng (tính kết hợp) để việc tính toán được đơn giản và thuận tiện hơn.

Ví dụ. Tính một cách hợp lí:

a) M = 211 + 36 + (- 11) + 64;

b) N = (- 43) + 123 + 77 + (- 157).

Giải:

a) M = 211 + 36 + (- 11) + 64 

        = [211 + (- 11)] + (36 + 64)     (tính chất giao hoán và kết hợp)

        = 200 + 100

        = 300.

b) N = (- 43) + 123 + 177 + (- 257)

        = [(- 43) + (- 157 )] + (123 + 177)

        = - 300 + 300                          (tổng hai số đối nhau)

        = 0.

4. Phép trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

a - b = a + (- b)

Ví dụ 1. Tính:

a) 16 - 55;

b) (- 32) - (- 67);

c) (- 21) - 92.

Giải:

a) 16 - 55 = 16 + (- 55) = - (55 - 16) = - 39.

b) (- 32) - (- 67) = (- 32) + 67 = 67 - 32 = 35.

c) (- 21) - 92 = (- 21) + (- 92) = - (21 + 92) = - 113.

Chú ý:

• Cho hai số nguyên a và b. Ta gọi a - b là hiệu của a và b (a được gọi là số bị trừ, b được gọi là số trừ).
• Phép trừ luôn thực hiện được trong tập hợp số nguyên.

Như vậy, hiệu của hai số nguyên a và b là tổng của a và số đối của b.

5. Quy tắc dấu ngoặc

Khi bỏ dấu ngoặc, nếu đằng trước dấu ngoặc:

• có dấu "+", thì vẫn giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc 

+ (a + b - c) = a + b - c

• có dấu "-", thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc

- (a + b - c) = - a - b + c

Ví dụ. Tính một cách hợp lí:

a) 435 - (29 + 435);

b) (- 98) - [(402 + 189) - 89].

Giải:

a) 435 - (29 + 435) = 435 - 29 - 435 = 0 - 29 = - 29.

b) (- 98) - [(402 + 189) - 89]

= (- 98) - 402 - 189 + 89

= - (98 + 402) - (189 - 89)

= - 500 - 100

= - 600.