Bài 4. Phép nhân và phép chia hết hai số nguyên

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

Tích của hai số nguyên khác dấu luôn luôn là một số nguyên âm.

Khi nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân số dương với số đối của số âm rồi thêm dấu trừ (-) trước kết quả nhận được.

Chú ý: Cho hai số nguyên dương a và b, ta có:

• (+ a).(- b) = - ab
• (- a).(+ b) = - ab
• (- a).(- b) = ab

Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau:

Giải:

a) (- 9).8 = - (9.8) = - 72.

b) (- 12).(- 5) = 12.5 = 60.

c) 15.(- 6) = - (15.6) = - 90.

Ví dụ 2. Một xưởng may có chế độ thưởng và phạt cho công nhân như sau: Một sản phẩm tốt được thưởng 80 000 đồng, một sản phẩm có lỗi bị phạt 60 000 đồng. Một công nhân làm được 12 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm bị lỗi. Hỏi công nhân nhân được bao nhiêu tiền?

Giải:

Số nguyên biểu thị số tiền thưởng mỗi sản phẩm tốt là + 80 000 đồng.

Số nguyên biểu thị số tiền bị phạt mỗi sản phẩm có lỗi là - 60 000 đồng.

Vậy, số tiền mà công nhân đó nhận được là:

12.(+ 80 000) + 2.(- 60 000) = 600 000 (đồng).

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

a) Nhân hai số nguyên dương

Ta đã biết cách nhân hai số nguyên dương.

Chẳng hạn: 5.6 = 30; 18.4 = 72.

b) Nhân hai số nguyên âm

Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu:

• Khi nhân hai số nguyên cùng dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.
• Khi nhân hai số nguyên cùng âm, ta nhân hai số đối của chúng.

Chú ý:

• Cho hai số nguyên dương a và b, ta có: (- a).(- b) = (+ a).(+ b) = a.b.
• Tích của hai số nguyên cùng dấu luôn luôn là một số nguyên dương.

Chẳng hạn:

+) 6.40 = 240;

+) (- 9).(- 21) = 9.21 = 189;

+) (- 4).(- 50) = 4.50 = 200.

3. Tính chất của phép nhân các số nguyên

a) Tính chất giao hoán

Phép nhân hai số nguyên có tính chất giao hoán: a.b = b.a.

Chẳng hạn:

+) 7.(- 8) = (- 8).7 = - 56.

+) (- 12).6 = 6.(- 12) = - 72.

Chú ý:

• a.1 = 1.a = a;
• a.0 = 0.a = 0.
• Cho hai số nguyên x, y: Nếu x.y = 0 thì x = 0 hoặc y = 0.

Ví dụ 1. Tìm x biết (x - 7).(x + 2) = 0.

Giải:

Ta có (x - 7).(x + 2) = 0.

Suy ra x - 7 = 0 hoặc x + 2 = 0, hay x = 7 hoặc x = - 2.

b) Tính chất kết hợp

Phép nhân các số nguyên có tính chất kết hợp:

(a.b).c = a.(b.c).

Chẳng hạn: [5.(-2)].4 = 5.[(- 2).4] = - 40.

Chú ý: Áp dụng tính chất kết hợp của phép nhân, ta có thể viết tích của nhiều số nguyên:

a.b.c = a.(b.c) = (a.b).c.​

c) Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Phép nhân số nguyên có tính chất phân phối đối với phép cộng:

a(b + c) = ab + ac

Phép nhân số nguyên cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ:

a(b - c) = ab - ac

Ví dụ 2. Thực hiện phép tính: (- 4).31 + (- 4).45 + (- 4).22.

Giải:

(- 4).31 + (- 4).45 + (- 4).22

= (- 4).(31 + 45 + 22)

= (- 4).100

= - 400.

4. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

Cho a, b \(\in\)  \(\mathbb{Z}\) và b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì

• Ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.
• Trong phép chia hết, dấu của thương hai số nguyên cũng giống như dấu của tích.

Ta gọi q là thương của phép chia a cho b, kí hiệu là a : b = q.

Chẳng hạn, ta có - 42 = 6.(- 7) nên ta nói:

• - 42 chia hết cho - 7;
• (- 42) : (- 7) = 6;
• 6 là thương của phép chia - 42 cho - 7.

Ví dụ 1. Tìm thương của các phép chia sau:

a) 520 : (- 40);                b) (- 180) : 9;                  c) (- 125) : (- 5).

Giải:

a) 520 : (- 40) = - 13.

b) (- 180) : 9 = - 20.

c) (- 125) : (- 5) = 25.

Ví dụ 2. Sau một quý kinh doanh, bác Huy lãi được 90 triệu đồng, còn chú Việt lại lỗ 18 triệu đồng Hỏi bình quân trong một tháng mỗi người lãi hay lỗ bao nhiêu tiền?

Giải:

Ta có 90 : 3 = 30; (- 18) : 3 = - 6.

Vậy trung bình trong một tháng bác Huy lãi 30 triệu đồng, chú Việt lỗ 6 triệu đồng.

5. Bội và ước của một số nguyên

• Cho a, b \(\in\)\(\mathbb{Z}\). Nếu a ⋮ b thì ta nói a là bội của b và b là ước của a.
• Nếu c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

Chẳng hạn, ta có (- 56) ⋮ 8 nên ta nói - 56 là bội của 8 và 8 là ước của - 56.

Ví dụ. Tìm các ước của 6.

Giải:

Ta có các ước nguyên dương của 6 là 1, 2, 3, 6. Vậy ước của 6 là 1, 2, 3, 6, - 1, - 2, - 3, - 6.