Vuông đố Tròn: “Hãy tìm một phương trình bậc hai mà tổng và tích các nghiệm của phương trình là hai số đối nhau.”
Tròn trả lời: “Tớ tìm ra rồi! Đó là phương trình x2 + x + 1 = 0”.
Em có đồng ý với ý kiến của Tròn không? Vì sao?
Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng
Thử thách nhỏ (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 23)
Thảo luận (1)
Hoạt động 5 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 23)
Giả sử hai số có tổng S = 5 và tích P = 6. Thực hiện các bước sau để lập phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm.
a) Gọi một số là x. Tính số kia theo x.
b) Sử dụng kết quả câu a và giả thiết, hãy lập phương trình để tìm x.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Số còn lại là: \(5 - x\).
b) Tích của hai nghiệm bằng 6 nên ta có: \(x\left( {5 - x} \right) = 6\)
\({x^2} - 5x + 6 = 0\)
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.6 = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{5 + 1}}{2} = 3;{x_2} = \frac{{5 - 1}}{2} = 2\)
Vậy hai số cần tìm là 3 và 2.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Tranh luận (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 22)
Tròn nói: “Không cần giải, tớ biết ngay tổng và tích hai nghiệm của phương trình x2 – x + 1 = 0 đều bằng 1”.
Ý kiến của em thế nào?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = - 3 < 0\) nên phương trình \({x^2} - x + 1 = 0\) vô nghiệm.
Do đó, không tính được tổng và tích các nghiệm của phương trình \({x^2} - x + 1 = 0\).
Vậy bạn Tròn nói sai.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 23)
Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 3x2 – 11x + 8 = 0;
b) 4x2 + 15x + 11 = 0;
c) \(x^2+2\sqrt{2}x+2=0\), biết phương trình có một nghiệm là x = \(-\sqrt{2}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(a + b + c = 3 - 11 + 8 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{8}{3}\).
b) Ta có: \(a - b + c = 4 - 15 + 11 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{x_2} = \frac{{ - 11}}{4}\).
c) Gọi \({x_2}\) là nghiệm còn lại của phương trình.
Theo định lí Viète ta có: \({x_1}.{x_2} = 2\).
Do đó, \({x_2} = \frac{2}{{ - \sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \).
Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = {x_2} = - \sqrt 2 \).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Hoạt động 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 22)
Cho phương trình 2x2 – 7x + 5 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.
b) Chứng tỏ rằng x1 = 1 là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại x2 của phương trình.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(a = 2;b = - 7;c = 5\) nên \(a + b + c = 2 - 7 + 5 = 0\).
b) Thay \({x_1} = 1\) vào phương trình \(2{x^2} - 7x + 5 = 0\) ta có: \({2.1^2} - 7.1 + 5 = 0\) (luôn đúng)
Vậy \({x_1} = 1\) là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2} \Rightarrow 1 + {x_2} = \frac{7}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{5}{2}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 22)
Không giải phương trình, hãy tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình bậc hai sau:
a) 2x2 – 7x + 3 = 0;
b) 25x2 – 20x + 4 = 0;
c) \(2\sqrt{2}x^2-4=0\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.3 = 25 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{3}{2}\).
b) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 10} \right)^2} - 25.4 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}\).
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{20}}{{25}} = \frac{4}{5};{x_1}.{x_2} = \frac{4}{{25}}\).
c) Ta có: \(\Delta ' = {0^2} + 2\sqrt 2.4 = 8\sqrt 2 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 0;{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 4}}{{2\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 21)
Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử ∆ = b2 – 4ac ≥ 0.
Nhắc lại công thức tính hai nghiệm x1, x2 của phương trình trên.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải+ Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\).
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Mở đầu (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 21)
Bác An có 40 m hàng rào lưới thép. Bác muốn dùng nó để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 96 m2 để trồng rau. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là $x_1 ; x_2(m)$.
Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là $\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2(\mathrm{~m})$ và $\mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2\left(\mathrm{~m}^2\right)$.
Theo bài, hàng rào 40 m rào xung quanh mảnh vườn nên nửa chu vi mảnh vườn là $40: 2=20(\mathrm{~m})$, do đó $x_1+x_2=20$.Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là $96 \mathrm{~m}^2$, do đó $\mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2=96$.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Khi đó, $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình: $x^2-20 x+96=0$.
Ta có $\Delta^{\prime}=(-10)^2-1.96=4>0$ và $\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2$.
Do đó phương trình có hai nghiệm là: $x_1=\frac{10+2}{1}=12 ; x_2=\frac{10-2}{1}=8$.
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là $12(\mathrm{~m})$ và $8(\mathrm{~m})$ (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 21)
Từ kết quả HĐ1, hãy tính x1 + x2 và x1x2.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\)
\({x_1}.{x_2} = \frac{{\left( { - b + \sqrt \Delta } \right)\left( { - b - \sqrt \Delta } \right)}}{{2a.2a}} = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Hoạt động 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Tập 2 - Trang 22)
Cho phương trình 3x2 + 5x + 2 = 0.
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a – b + c.
b) Chứng tỏ rằng x1 = –1 là một nghiệm của phương trình.
c) Dùng định lí Viète để tìm nghiệm còn lại x2 của phương trình.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(a = 3;b = 5;c = 2\) nên \(a - b + c = 3 - 5 + 2 = 0\).
b) Thay \({x_1} = - 1\) vào phương trình \(3{x^2} + 5x + 2 = 0\) ta có: \(3.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right) + 2 = 0\) (luôn đúng)
Vậy \({x_1} = - 1\) là một nghiệm của phương trình.
c) Theo định lí Viète ta có: \({x_1}.{x_2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \left( { - 1} \right).{x_2} = \frac{2}{3} \Rightarrow {x_2} = \frac{{ - 2}}{3}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)