Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(a = 3;b = 5;c = 2\) nên \(a - b + c = 3 - 5 + 2 = 0\).

b) Thay \({x_1} =  - 1\) vào phương trình \(3{x^2} + 5x + 2 = 0\) ta có: \(3.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right) + 2 = 0\) (luôn đúng)

Vậy \({x_1} =  - 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Theo định lí Viète ta có: \({x_1}.{x_2} = \frac{2}{3} \Rightarrow \left( { - 1} \right).{x_2} = \frac{2}{3} \Rightarrow {x_2} = \frac{{ - 2}}{3}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(a = 2;b =  - 7;c = 5\) nên \(a + b + c = 2 - 7 + 5 = 0\).

b) Thay \({x_1} = 1\) vào phương trình \(2{x^2} - 7x + 5 = 0\) ta có: \({2.1^2} - 7.1 + 5 = 0\) (luôn đúng)

Vậy \({x_1} = 1\) là một nghiệm của phương trình.

c) Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2} \Rightarrow 1 + {x_2} = \frac{7}{2} \Rightarrow {x_2} = \frac{5}{2}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 =  - 3 < 0\) nên phương trình \({x^2} - x + 1 = 0\) vô nghiệm.

Do đó, không tính được tổng và tích các nghiệm của phương trình \({x^2} - x + 1 = 0\).

Vậy bạn Tròn nói sai.

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.3 = 25 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{7}{2};{x_1}.{x_2} = \frac{3}{2}\).

b) Ta có: \(\Delta ' = {\left( { - 10} \right)^2} - 25.4 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép \({x_1}={x_2}\).

Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{20}}{{25}} = \frac{4}{5};{x_1}.{x_2} = \frac{4}{{25}}\).

c) Ta có: \(\Delta ' = {0^2} + 2\sqrt 2.4  = 8\sqrt 2  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 0;{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 4}}{{2\sqrt 2 }} =  - \sqrt 2 \).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - b}}{a}\)

\({x_1}.{x_2} = \frac{{\left( { - b + \sqrt \Delta  } \right)\left( { - b - \sqrt \Delta  } \right)}}{{2a.2a}} = \frac{{{{\left( { - b} \right)}^2} - \Delta }}{{4{a^2}}} = \frac{{{b^2} - {b^2} + 4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\)

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

+ Nếu \(\Delta  > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}\).

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)

Hướng dẫn giải

Gọi hai kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là $x_1 ; x_2(m)$.
Ta có nửa chu vi và diện tích mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là $\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2(\mathrm{~m})$ và $\mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2\left(\mathrm{~m}^2\right)$.
Theo bài, hàng rào 40 m rào xung quanh mảnh vườn nên nửa chu vi mảnh vườn là $40: 2=20(\mathrm{~m})$, do đó $x_1+x_2=20$.

Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là $96 \mathrm{~m}^2$, do đó $\mathrm{x}_1 \mathrm{x}_2=96$.
Khi đó, $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình: $x^2-20 x+96=0$.
Ta có $\Delta^{\prime}=(-10)^2-1.96=4>0$ và $\sqrt{\Delta}=\sqrt{4}=2$.
Do đó phương trình có hai nghiệm là: $x_1=\frac{10+2}{1}=12 ; x_2=\frac{10-2}{1}=8$.
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt là $12(\mathrm{~m})$ và $8(\mathrm{~m})$ (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)