Bài 2: Dãy số

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa dãy số

Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập các số nguyên dương \(N\)* được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), Kí hiệu:

         \(u\) : \(N\)* \(\rightarrow\) \(R\)

                 \(n\) \(\rightarrow\) \(u\left(n\right)\)

Người ta viết dãy số dưới dạng khai triển \(u_1,u_2,u_3,...,u_n,...\)

trong đó \(u\left(n\right)=u_n\) hoặc viết tắt là \(\left(u_n\right)\), và gọi \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_n\) là số hạng thứ \(n\) và là số hạng tổng quát của dãy số.

Ví dụ 1: 

    - Dãy các số tự nhiên lẻ \(1,3,5,7,...\) có số hạng đầu \(u_1=1\), số hạng tổng quát \(u_n=2n-1\).

    - Dãy các số chính phương \(1,4,9,16,...\) có số hạng đầu \(u_1=1\), số hạng tổng quát \(u_n=n^2\).

2. Định nghĩa dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập \(M=\left\{1;2;3;...;m\right\}\) với \(m\in N\)* được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là \(u_1,u_2,u_3,...,u_m\) trong đó \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_m\) là số hạng cuối.

Ví dụ 2:

     - Dãy số \(-5,-2,1,4,7,10,13\) là dãy số hữu hạn có \(u_1=-5\), \(u_7=13\)

     - Dãy số \(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{8},\dfrac{1}{16},\dfrac{1}{32}\) là dãy số hữu hạn có \(u_1=\dfrac{1}{2},u_5=\dfrac{1}{32}\)

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

1. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

Ví dụ 3: 

a) Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\left(-1\right)^n.\dfrac{3^n}{n}\) (1).

Từ công thức (1) ta có thể xác định được bất kì số hạng nào của dãy số. Chẳng hạn:

   \(u_5=\left(-1\right)^5.\dfrac{3^5}{5}=-\dfrac{243}{5}\)

Nếu viết dãy số dưới dạng khai triển ta được:

   \(-3,\dfrac{9}{2},-9,\dfrac{81}{4},...,\left(-1\right)^n.\dfrac{3^n}{n},...\)

b) Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{n}{\sqrt{n}+1}\) có dạng khai triển là: 

    \(\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{\sqrt{2}+1},\dfrac{3}{\sqrt{3}+1},...,\dfrac{n}{\sqrt{n}+1},...\)

Như vậy, dãy số \(\left(u_n\right)\) hoàn toàn xác định nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó.

2. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ 4: Số \(\pi\) là số thập phân vô hạn không tuần hoàn:

         \(\pi=3,141592653589...\)

Nếu lập dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n\) là giá trị gần đúng thiếu của số \(\pi\) với sai số tuyệt đối \(10^{-n}\) thì

    \(u_1=3,1\) ; \(u_2=3,14\) ; \(u_3=3,141\) ; \(u_4=3,1415\) ; ...

Đó là dãy số được cho  bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.

3. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Ví dụ 5: Dãy Phi-bô-na-xi (*) là dãy số \(\left(u_n\right)\) được xác định như sau:

             \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=u_2=1\\u_n=u_{n-1}+u_{n-2}\left(n\ge3\right)\end{matrix}\right.\) 

nghĩa là kể từ số hạng thứ ba trở đi, mỗi số hạng đều bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó.

Cách cho dãy số như trên được gọi là cho bằng phương pháp truy hồi.

Nói cách khác, cho một dãy số bằng phương pháp quy hồi tức là:

     - Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu) ;

     - Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ \(n\) qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước đó.

III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ

Vì dãy số là một hàm số trên \(N\)* nên ta có thể biểu thị dãy số bằng đồ thị. Khi đó trong mặt phẳng toạ độ, dãy số được biểu diễn bởi các điểm có toạ độ \(\left(n;u_n\right)\) .

Ví dụ 6: Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{n+1}{n}\) có biểu diễn hình học như sau:

                                    \(u_1=2,u_2=\dfrac{3}{2},u_3=\dfrac{4}{3},u_4=\dfrac{5}{4},...\)

Tuy nhiên người ta thường biểu diễn các số hạng của một dãy số trên trục số. Chẳng hạn dãy số \(\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\) được biểu diễn:

IV. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

1. Dãy số tăng, Dãy số giảm

Định nghĩa 1: 

Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \(u_{n+1}>u_n\) với mọi \(n\in N\)*.

Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \(u_{n+1}< u_n\) với mọi \(n\in N\)*.

Ví dụ:

- Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=2n-1\) là dãy số tăng do ta có \(u_{n+1}-u_n=2\left(n+1\right)-2-\left(2n-1\right)=2>0\) hay \(u_{n+1}>u_n\)  ;

- Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{n}{3^n}\) là dãy số giảm do ta có \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{n+1}{3^{n+1}}:\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{n+1}{3n}< 1\) hay \(u_{n+1}< u_n\); ...

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. 

Chẳng hạn dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\left(-3\right)^n\) không tăng cũng không giảm.

2. Dãy số bị chặn

Định nghĩa 2:

Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số \(M\) sao cho

      \(u_n\le M,\forall n\in N\)*

Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số \(m\) sao cho

     \(u_n\ge m,\forall n\in N\)*

Dãy số \(\left(u_n\right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số \(M\), \(m\) sao cho

     \(m\le u_n\le M,\forall n\in N\).

Ví dụ:

- Dãy số Phi-bô-na-xi bị chặn dưới vì \(u_n\ge1\) với mọi \(n\in N\)*

- Dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=\dfrac{n}{n^2+1}\) bị chặn vì \(0\le\dfrac{n}{n^2+1}\le\dfrac{1}{2}\).