Bài 12. Bội chung. Bội chung nhỏ nhất

1. BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a) Bội chung và bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

• BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.
• BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Chú ý: 

• Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.
• x ∈ BC(a, b) nếu x ⋮ a, x ⋮ b.
• x ∈ BC(a, b, c) nếu x ⋮ a, x ⋮ b, x ⋮ c.

Ví dụ 1. Tìm bội chung và bội chung nhỏ nhất của 12 và 18.

Giải:

Ta có: B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72 ...}.

B(18) = {0; 18; 36; 54; 72; ...}.

Các số 0; 36; 72; ... vừa là bội của 12, vừa là bội của 18 nên BC(12, 18) = {0; 36; 72; ...}.

Số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của 12 và 18 là 36 nên BCNN(12, 18) = 36.

b) Tìm bội chung nhỏ nhất trong trường hợp đặc biệt

Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của các số đã cho chính là số lớn nhất đó.

• Nếu a ⋮ b thì BCNN(a,b) = a.
• Mọi số tự nhiên đều là bội của 1. Do đó, với mọi số tự nhiên a và b (khác 0), ta có:

BCNN(a, 1) = a; BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).

Ví dụ 2. Tìm BCNN(6, 36).

Giải:

Vì 36⋮6 nên BCNN(6, 36) = 36.

2. CÁCH TÌM BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

a) Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Các bước tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;
3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Ví dụ. Tìm BCNN(120, 150, 180) bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

Giải:

Phân tích các số 120, 150, 180 ra thừa số nguyên tố, ta được: 120 = 2³.3.5; 150 = 2.3.5²;  180 = 2².3².5.

Thừa số nguyên tố chung là 2, 3, 5.

Ta thấy số mũ lớn nhất của 2; 3 và 5 lần lượt là 3; 2 và 2.

Khi đó BCNN(120, 150, 180) = 2³.3².5² = 1800.

b) Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể làm như sau:

1. Tìm BCNN của các số.
2. Tìm các bội của BCNN đó.

Ví dụ. Biết BCNN(9,12) = 36. Tìm các bội chung nhỏ hơn 100 của 9 và 12.

Giải:

Ta có BCNN(9, 12) = 36.

Từ đó, ta suy ra BC(9, 12) = {0; 36; 72; 108; ...}.

Vậy các bội chung nhỏ hơn 100 của 9 và 12 là 0; 36; 72.​

3. QUY ĐỒNG MẪU CÁC PHÂN SỐ

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số

Để quy đồng mẫu hai phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\), ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.

Ví dụ 1. Quy đồng mẫu các phân số sau: \(\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{5}\) và \(\dfrac{5}{8}\).

Giải:

Ta có 8 = 2³ nên BCNN(2, 5, 8) = 2³.5 = 40.

Ta có thể lấy mẫu chung của ba phân số trên là 40. Do đó

\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1.20}{2.20}=\dfrac{20}{40}\);   \(\dfrac{2}{5}=\dfrac{2.8}{5.8}=\dfrac{16}{40}\);    \(\dfrac{5}{8}=\dfrac{5.5}{8.5}=\dfrac{25}{40}\).

Ví dụ 2. Tính: \(\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{15}\).

Giải:

 Ta có 9 = 3²;  15 = 3.5 nên BCNN(9, 15) = 3².5 = 9.5 = 45.

Khi đó \(\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{2.5}{9.5}+\dfrac{4.3}{15.3}=\dfrac{10}{45}+\dfrac{12}{45}=\dfrac{22}{45}\).

Chú ý: Có thể chọn một bội chung khác 0 bất kì làm mẫu chung. Tuy nhiên, người ta thường lấy bội chung nhỏ nhất làm mẫu chung.