Nội dung lý thuyết
a) Ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số
Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
Kí hiệu: ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập các ước chung của các số đó.
Kí hiệu: ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.
Chú ý:
Ví dụ 1. Tìm ƯC(24, 36} và ƯCLN(24, 36).
Giải:
Ta có: Ư(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.
Ư(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}.
Các số 1; 2; 3; 4; 12 đều là ước của hai số 24 và 36 nên ƯC(24, 36) = {1; 2; 3; 4; 12}.
Số 12 là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung nên ƯCLN(24, 36) = 12.
Chú ý: x ∈ ƯC(a, b, c) nếu a ⋮ x, b ⋮ x và c ⋮ x.
Ví dụ 2. Có hai sợi dây dài 60 cm và 75 cm. Một người muốn cắt hai sợi dây này thành các sợi nhỏ có cùng độ dài mà không thừa sợi nào. Có thể cắt được sợi dây có độ dài lớn nhất là bao nhiêu?
Giải:
Độ dài sợi dây lớn nhất chính là ước chung lớn nhất của 60 và 75.
Mà ta có: ƯC(60, 75) = {3; 5; 15}, suy ra ƯCLN(60, 75) = 15.
Vậy có thể cắt được sợi dây có độ dài lớn nhất là 15 cm.
b) Tìm ƯCLN trong trường hợp đặc biệt
Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.
Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b.
Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có ƯCLN(a, 1) = 1;
ƯCLN(a, b, 1) = 1.
Ví dụ 3. Tìm ƯCLN(8, 24).
Giải:
Vì 24 ⋮ 8 nên ƯCLN(8, 24) = 8.
ƯCLN(a, b) là ước của a và b nên các thừa số nguyên tố của ƯCLN(a, b) là thừa số nguyên tố chung của a và b. Vì vậy, để tìm ƯCLN(a, b) ta cần phân tích a và b ra thừa số nguyên tố.
a) Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;
Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.
Ví dụ. Tìm ƯCLN( 48, 60).
Giải:
Bước 1. Phân tích các số 48 và 60 ra thừa số nguyên tố, ta được:
48 = 2.2.2.2.3 = 24.3;
60 = 2.2.3.5 = 22.3.5.
Bước 2. Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 48 và 60.
Bước 3. Trong các phân tích ra thừa số nguyên tố của 48 và 60, số mũ nhỏ nhất của thừa số chung 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của thừa số chung 3 là 1.
Vậy, ƯCLN(48, 60) = 22.3 = 12.
Ví dụ 2. Lớp 6A có 42 học sinh, lớp 6B có 48 học sinh, lớp 6C có 45 học sinh. Trong lễ khai giảng, mỗi lớp xếp thành một hàng dọc như nhau mà không có bạn nào lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất mà mỗi lớp có thể xếp được.
Giải:
Gọi x là số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được.
Theo bài ra, ta có: 42⋮a, 48⋮a và 45⋮a và a lớn nhất.
Suy ra a là ước chung lớn nhất của 42, 48 và 45.
Mà ƯCLN(42, 48, 45) = 3. Vậy a = 3.
Có thể xếp được nhiều nhất là 3 hàng dọc.
b) Tìm ước chung từ ước chung lớn nhất
Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta có thể làm như sau:
- Tìm ƯCLN của các số đó.
- Tìm các ước của ƯCLN đó.
Ví dụ. Biết ƯCLN(a, b) = 15. Tìm ƯC(a, b).
Giải:
Ta có: Ước chung của a và b là ước của ước chung lớn nhất của a và b.
Do đó ƯC(a, b) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.
Chú ý: Khi tìm ước chung của các số, người ta thường dựa vào ƯCLN của chúng.
ƯCLN(a, b).
Ví dụ. Trong các phân số \(\dfrac{5}{15};\dfrac{7}{29};\dfrac{34}{51};\dfrac{6}{35}\), những phân số nào là phân số tối giản? Những phân số nào chưa tối giản? Rút gọn các phân số đó về phân số tối giản?
Giải:
Ta có: \(\dfrac{5}{15}=\dfrac{5:5}{15:5}=\dfrac{1}{3}\).
Vậy phân số tối giản của \(\dfrac{5}{15}\) là \(\dfrac{1}{3}\).
Ta có: \(\dfrac{34}{51}=\dfrac{34:17}{51:17}=\dfrac{2}{3}\).
Vậy phân số tối giản của \(\dfrac{34}{51}\) là \(\dfrac{2}{3}\).
Chú ý: Nếu ƯCLN(a, b) = 1 thì hai số a, b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.