Bài 1: Giới hạn của dãy số

1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn.             

*Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left|u_n\right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=0\) hay \(u_n\rightarrow0\) khi \(n\rightarrow+\infty\).

*Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn là số a khi \(n\rightarrow+\infty\) nếu \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(u_n-a\right)=0\).

Kí hiệu: \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=a\) hay \(u_n\rightarrow a\) khi \(n\rightarrow+\infty\).

2. Định nghĩa giới hạn vô cực.

 *Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn \(+\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\), nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu: \(\lim\limits u_n=+\infty\) hay \(u_n\rightarrow+\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\).

*Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn \(-\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\) nếu \(lim\left(-u_n\right)=+\infty\). 

 Kí hiệu:  \(\lim\limits u_n=-\infty\) hay \(u_n\rightarrow-\infty\) khi \(n\rightarrow+\infty\).

3.Các giới hạn đặc biệt.

a. \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{n^k}=0\) với k là số nguyên dương.

b. \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}q^n=0\) nếu \(|q|<1\).

c. Nếu \(u_n=c\) (c là hằng số) thì \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}u_n=\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}c=c\).

d. \(\lim\limits n^k=+\infty\) với k nguyên dương.

e. \(\lim\limits q^n=+\infty\) nếu q > 0.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn.

    Định lí 1.

a. Nếu \(\lim\limits u_n=a\) và \(\lim\limits v_n=b\) thì

*\(\lim\limits\left(u_n+v_n\right)=a+b\)

*\(\lim\limits\left(u_n-v_n\right)=a-b\)

*\(\lim\limits\left(u_nv_n\right)=ab\)

*\(\lim\limits\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)=\dfrac{a}{b}\) (nếu \(b\ne0\)).

b. Nếu \(b_n\ge0\forall n\) và \(\lim\limits u_n=a\) thì \(a\geq 0\) và \(\lim\limits\sqrt{u_n}=\sqrt{a}\).

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

    Định lí 2.

a. Nếu \(\lim\limits u_n=a\) và \(\lim\limits v_n=\pm\infty\) thì \(\lim\limits\dfrac{u_n}{v_n}=0\).

b. Nếu \(\lim\limits u_n=a>0\), \(\lim\limits v_n=0\) và \(v_n>0\forall n\) thì \(\lim\limits\dfrac{u_n}{v_n}=+\infty\).

c. Nếu \(\lim\limits u_n=+\infty\) và \(\lim\limits v_n=a>0\) thì \(\lim\limits u_nv_n=+\infty\).

6.Cấp số nhân lùi vô hạn.

*Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân thoả mãn \(\left|q\right|< 1\)

*Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn: \(S=u_1+u_2+u_3+...=\dfrac{u_1}{1-q}\).   

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số