Bài 1. Định lí Pythagore

I. Định lý Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Chẳng hạn, với tam giác ABC vuông tại A (như hình trên) ta có 

BC² = AB² + AC² hay a² = b² + c² (với BC = a, AC = b, AB = c).

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm và AC = 4 cm. Tính BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có

BC² = AB² + AC² hay 3² + 4² = BC².

Do đó BC² = 25. Suy ra \(BC = \sqrt{25}=5\) cm.

II. Định lý Pythagore đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Chẳng hạn với tam giác ABC nếu BC² = AB² + AC² hay a² = b² + c² (với BC = a, AC = b, AB = c) thì tam giác ABC vuông tại A.

Ví dụ 2: Cho tam giác DEF có DE = 6 cm, DF = 8 cm và EF = 10 cm. Tam giác DEF có phải là tam giác vuông không?

Hướng dẫn giải

Xét tam giác DEF có

EF² = 10² = 100 và DE² + DF² = 8² + 6² = 100.

Do đó EF² = DE² + DF².

Vậy tam giác DEF là tam giác vuông tại D (theo định lí Pythagore đảo).

Ví dụ 3: Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ tay bạn đến diều dài 170 m và bạn đứng cách nơi được thả diều lên theo phương thẳng đứng là 80 m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách mặt đất 2 m.

Hướng dẫn giải

Gọi các điểm A, B, C có vị trí như hình vẽ sau.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có

BC² = AB² + AC² suy ra AB² = BC² - AC² = 170² - 80² = 22 500 

Do đó AB = \(\sqrt{22\;500}=150.\)

Suy ra chiều cao của diều so với mặt đất là 150 + 2 = 152 (m).