§1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 (độ) đến 180 (độ)
Nội dung lý thuyết
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), nửa đường tròn tâm \(O\) nằm phía trên trục hoành bán kính \(R=1\) được gọi là nửa đường tròn đơn vị.
Với mỗi góc \(\alpha\) (\(0^o\le\alpha\le180^o\)) ta xác định được duy nhất một điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=\alpha\) và giả sử điểm \(M\) có toạ độ \(M\left(x_0;y_0\right)\). Khi đó ta định nghĩa:
+ \(\sin\) của góc \(\alpha\) là \(y_0\), kí hiệu \(\sin\alpha=y_0\) ;
+ côsin của góc \(\alpha\) là \(x_0\), kí hiệu là \(\cos\alpha=x_0\) ;
+ tang của góc \(\alpha\) là \(\dfrac{y_0}{x_0}\) (\(x_0\ne0\)), kí hiệu là \(\tan\alpha=\dfrac{y_0}{x_0}\) ;
+ côtang của góc \(\alpha\) là \(\dfrac{x_0}{y_0}\) (\(y_0\ne0\)), kí hiệu là \(\cot\alpha=\dfrac{x_0}{y_0}\).
Các số \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\), \(\cot\alpha\) được gọi là các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).
Ví dụ 1: Cho góc \(\alpha=135^o\). Tìm các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\).
Giải:
Lấy điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat{xOM}=135^o\).
Khi đó ta có \(\widehat{yOM}=45^o\).
Từ đó ta suy ra toạ độ điểm \(M\) là \(M\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
Vậy \(\sin135^o=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ; \(\cos135^o=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ;
\(\tan135^o=-1\) ; \(\cot135^o=-1\).
Chú ý: +) Nếu \(\alpha\) là góc tù thì \(\cos\alpha< 0\), \(\tan\alpha< 0\), \(\cot\alpha< 0\).
+) \(\tan\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha\ne90^o\)
\(\cot\alpha\) chỉ xác định khi \(\alpha\ne0^o\) và \(\alpha\ne180^o\).
@1953462@
2. Tính chất
Cũng trên nửa đường tròn đơn vị, ngoài điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) ta lấy điểm \(N\) sao cho dây cung \(NM\) song song với trục \(Ox\) và nếu \(\widehat{xOM}=\alpha\) thì \(\widehat{xON}=180^0-\alpha\).
Ta có \(y_M=y_N=y_0\) , \(x_M=-x_N=x_0\).
Từ đó ta suy ra tính chất:
\(\sin\alpha=\sin\left(180^o-\alpha\right)\)
\(\cos\alpha=-\cos\left(180^o-\alpha\right)\)
\(\tan\alpha=-\tan\left(180^o-\alpha\right)\)
\(\cot\alpha=-\cot\left(180^o-\alpha\right)\)
Ví dụ: \(\sin20^o=\sin160^o\) (do \(20^o+160^o=180^o\))
\(\cos52^o=-\cos128^o\) (do \(52^o+128^o=180^o\))
\(\tan30^o=-\tan150^o\) (do \(30^o+150^o=180^o\))
\(\cot75^o=-\cot105^o\) (do \(75^o+105^o=180^o\))
@1953548@
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| \(\alpha\) | \(0^o\) | \(30^o\) | \(45^o\) | \(60^o\) | \(90^o\) | \(180^o\) |
| \(\sin\alpha\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\cos\alpha\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\tan\alpha\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | \(||\) | \(0\) |
| \(\cot\alpha\) | \(||\) | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) | \(0\) | \(||\) |
Trong bảng, kí hiệu "\(||\)" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý: Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Ví dụ: \(\sin120^o=\sin\left(180^o-60^o\right)=\sin60^o=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ;
\(\cos135^o=\cos\left(180^o-45^o\right)=-\cos45^o=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ;
\(\tan150^o=\tan\left(180^o-30^o\right)=-\tan30^o=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) ; ...
@1954091@
4. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Từ một điểm \(O\) bất kì ta vẽ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Góc \(\widehat{AOB}\) với số đo từ \(0^o\) đến \(180^o\) được gọi là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\). Nếu \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=90^o\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau, kí hiệu là \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\) hoặc \(\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{a}\).
b) Chú ý: Từ định nghĩa ta có \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}\right)\).
Nhận xét: Khi hai vectơ cùng hướng thì góc giữa hai vectơ bằng \(0^o\) ;
Khi hai vectơ ngược hướng thì góc giữa hai vectơ bằng \(180^o\).
c) Ví dụ
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và có góc \(\widehat{B}=50^o\).
Khi đó ta có: \(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=50^o\) ; \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=130^o\) ;
\(\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=40^o\) ; \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=40^o\) ;
\(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=140^o\) ; \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}\right)=90^o\).
@1954877@
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc
Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau:
a) Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\)
Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây:
Deg Rad Gra 1 2 3 |
Sau đó ấn phím 1 để xác định đơn vị đo góc là "độ" và tính giá trị lượng giác của góc.
Ví dụ 1: Tính \(\sin63^o52'41''\).
Ấn liên tiếp các phím:
Ta được kết quả là: \(\sin63^o52'41''\approx0,897859012\).
b) Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc \(x\) khi biết các giá trị lượng giác của góc đó ta làm như ví dụ sau:
Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(\sin x=0,3502\).
Ta ấn liên tiếp các phím sau:
và được kết quả là: \(x\approx20^o29'58''\).