cho a,b >1
cmr \(ab\ge a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ac<=1
CMR: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Bài 1 Cho a,b,c,d là 3 số không âm CMR a,frac{ab}{a+b}+frac{bc}{b+c}+frac{ac}{a+c}lefrac{a+b+c}{2}b,frac{a^2}{a+b}+frac{b^2}{b+c}+frac{c^2}{c+d}+frac{d^2}{a+d}gefrac{a+b+c+d}{2}Bài 2 Cho a,b,c là 3 số không âm thỏa mãn a+b+c1 CMR a,sqrt{a^2+1}+sqrt{b^2+1}+sqrt{c^2+1}le3,5b,sqrt{a+b}+sqrt{b+c}+sqrt{a+c}lesqrt{6}Bài 3 Cho |x| 1;|y| 1CMR frac{1}{1-x^2}+frac{1}{1-y^2}gefrac{2}{1-xy}
Đọc tiếp
Bài 1 Cho a,b,c,d là 3 số không âm CMR
\(a,\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\le\frac{a+b+c}{2}\)
\(b,\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{a+d}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
Bài 2 Cho a,b,c là 3 số không âm thỏa mãn a+b+c=1 CMR
\(a,\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\le3,5\)
\(b,\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\le\sqrt{6}\)
Bài 3 Cho \(|x|< 1;|y|< 1CMR\) \(\frac{1}{1-x^2}+\frac{1}{1-y^2}\ge\frac{2}{1-xy}\)
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Nói trước là bài 3 em không chắc, tự dưng thấy tại sao lại có đk \(\left|x\right|< 1;\left|y\right|< 1?!?\) Chẳng lẽ lời giải của em sai hay là đề thừa?
Đúng 0
Bình luận (0)
tth-new ơi Bài 1 câu a áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số nào thế ạ
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
M=\(\left(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{ab}}+1\right)\div\left(1-\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}\right)\) với a≥0; b≥0; ab≠1.
a)Rút gọn M.
b)Cho\(\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}=6\). Tìm GTLN M.
9 tháng 9 2021 lúc 14:03
Cho các số thực dương a,b,c thỏa a+b+c=1
CMR: \(\dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab}\ge\dfrac{9}{10}\)
help me pls!!
\(VT=\dfrac{a^2}{a+abc}+\dfrac{b^2}{b+abc}+\dfrac{c^2}{c+abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{1^2}{1+\dfrac{1}{9}.1^3}=\dfrac{9}{10}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Bài 1 : cho các số không âm a,b,c . Chứng minh :
a, \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
c. \(a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
d, \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
cảm ơn bạn vì đã giúp mình tìm hiểu thêm câu hỏi
Đúng 0
Bình luận (0)
a) bđt cosi
b) \(\left(\sqrt{a+b}\right)=a+b\)
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)
\(a+b+2\sqrt{ab}>a+b\)
=> đpcm
c) xét hiệu \(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}+b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)
d)https://olm.vn/hoi-dap/question/1003405.html
nè ngại làm
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài toán tương đương với : : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Ta có điều hiển nhiên sau : \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
\(< =>a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(< =>a+b\ge2\sqrt{ab}\left(đpcm\right)\)
1/ Cho a,b>0 , thỏa mãn ab = 1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+b+ab}}\ge\sqrt{3}\)
2/ Cho a>0. Chứng minh rằng:
a+\(\dfrac{1}{a}\ge\sqrt{\dfrac{1}{a^2+1}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2+1}}\)
3/ Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
2(a+b)\(\le1+\sqrt{1+4\left(a^3+b^3\right)}\)
Rút gọn biểu thức
a) \(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) (a,b ≥ 0) \(\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) (a,b ≥ 0; a ≠ b)
b) \(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{\frac{a}{b}}+\frac{1}{a}\sqrt{4ab}+\frac{1}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}\right):\left(1+\frac{2}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\right)vớia,b>0\)
cho a ≥ 9 b≥4 c≥1 cmr:.....
\(ab\sqrt{c-1}+bc\sqrt{a-9}+ca\sqrt{b-4}\le\dfrac{11abc}{12}\)
Áp dụng bđt AM-GM cho 2 số không âm ta có:\(ab\sqrt{c-1}+bc\sqrt{a-9}+ca\sqrt{b-4}\)
\(=ab\sqrt{1.\left(c-1\right)}+\dfrac{bc\sqrt{9\cdot\left(a-9\right)}}{3}+\dfrac{ca\sqrt{4.\left(b-4\right)}}{2}\)\(\le ab.\dfrac{1+\left(c-1\right)}{2}+bc.\dfrac{9+\left(a-9\right)}{6}+ca.\dfrac{4+\left(b-4\right)}{4}=abc\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{11abc}{12}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}1=c-1\\9=a-9\\4=b-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=2\\a=18\\b=8\end{matrix}\right.\)
Đúng 0
Bình luận (1)
Bài 1: Giải phương trình :
\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{x-1}-1\)
Bài 2 : cho các số không âm a,b,c . Chứng minh :
a, \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b, \(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
c, \(a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
d, \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác và \(a\ge b\ge c\). Chứng minh rằng
\(\sqrt{a\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}+\sqrt{b\left(a+c-\sqrt{ac}\right)}+\sqrt{c\left(c+b-\sqrt{bc}\right)}\ge a+b +c\)