Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
S U G A R

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ac<=1

CMR: \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)

missing you =
19 tháng 1 2023 lúc 19:22

\(ab+bc+ca\le1\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)

\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Huyền Diệp
Xem chi tiết
Hi Mn
Xem chi tiết
Nguyễn An
Xem chi tiết
Hoang Tran
Xem chi tiết
Vũ Thanh Lương
Xem chi tiết
Cấn Minh Khôi
Xem chi tiết
hiền nguyễn
Xem chi tiết
hello7156
Xem chi tiết
Người Vô Danh
Xem chi tiết